Теорема Гаусса

Закон Кулона

Сложение электрических полей (принцип суперпозиции)

Распределение зарядов

Потенциал электростатического поля. Связь между напряженностью поля и потенциалом

Проводники и диэлектрики в электрическом поле

Емкость проводника. Емкость конденсатора. Соединение конденсаторов в батареи. Энергия заряженного уединенного проводника. Энергия заряженного конденсатора

Теорема Гаусса для поля в вакууме

Задача 17. Внутри шара радиусом а распределен заряд с объемной плотностью . Найти напряженность электрического поля.

Решение.

Найдем модуль напряженности электрического поля внутри шара. Выберем в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом r < а.

По теореме Гаусса:

т.к. в силу сферической симметрии величина вектора напряженности на сфере имеет одно и тоже значение

Таким образом,

Так как

получаем, что напряженность поля внутри шара

Найдем модуль напряженности электрического поля вне шара. Выберем в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом r > а.

Можем записать, что

Таким образом, напряженность поля вне шара

Задача 18. Точечный заряд q₀ = 10^-6 Кл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины. Вычислить поверхностную плотность заряда пластины s, если на точечный заряд действует сила F = 6×10^-2 Н.

Решение.

Из соображений симметрии вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление перпендикулярное плоскости пластины. Действительно, поскольку пластина большая и заряжена равномерно, нет никаких оснований к тому, чтобы вектор отклонялся в какую-либо сторону от нормали к плоскости. Очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по модулю и противоположна по направлению. Логично выбрать в качестве поверхности интегрирования небольшой замкнутый цилиндр с образующей перпендикулярной плоскости пластины и основаниями, расположенными симметрично относительно пластины.

Применим теорему Гаусса.

Поток через боковую поверхность цилиндра будет отсутствовать, следовательно, весь поток приходится на торцы

Таким образом,

Следовательно,

Задача 19. Две длинные параллельные нити равномерно заряжены каждая с линейной плотностью = 0,50 мкКл/м. Расстояние между нитями = 45 см. Найти максимальное значение модуля напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы, расположенной между нитями.

Решение.

	Найдем чему равен модуль напряженности поля бесконечной равномерно заряженной нити на расстоянии r от нее. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. Поскольку модуль вектора напряженности в каждой точке зависит только от расстояния r до нити, то в качестве воображаемой замкнутой поверхности выбираем цилиндр:

Воспользуемся принципом суперпозиции, как видно из рисунка


	Чтобы найти максимальное значение модуля напряженности электрического поля, продифференцируем полученное выражение и приравняем его к нулю.

Задача 20. Напряженность электрического поля зависит только от координат х и у по закону , где а - постоянная, и - орты осей х и у. Найти поток вектора через сферу радиуса R с центром в начале координат.

Решение.

	Как видно поле имеет радиальный характер в плоскости xy:

	т.е. определяется тем же законом, что и для длинной равномерно заряженной нити, совпадающей с осью Oz. В силу закона Гаусса поток через замкнутую поверхность определяется только зарядом, содержащимся внутри этой поверхности, и не зависит от ее формы. Тогда поток через сферу диаметра 2R равен потоку через цилиндр длиной , для которого вектор E будет перпендикулярен боковой поверхности и параллелен его основаниям: