|
|
|
Соединение конденсаторов в батареи
|
|
1.7.1. Электрическая емкость |
|
Электроемкость – характеристика проводящего тела, мера его способности накапливать электрический заряд. Численно электрическая емкость равна заряду q, который необходимо сообщить уединенному телу для изменения его потенциала j на единицу:
|
|
(1.40) |
Единица измерения в СИ: 1 Ф = 1 Кл/В.
Электрическая емкость зависит от диэлектрической проницаемости окружающей среды, формы и размеров проводника, не зависит от проводимости вещества и его агрегатного состояния.
Например, емкость уединенного шара радиусом R. Согласно (1.26) потенциал шара
|
|
|
После подстановки полученного результата в (1.40), найдем
|
|
(1.41) |
|
|
1.7.2. Конденсаторы |
|
Конденсатор – это система из двух проводников (обкладок) с одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами, форма и расположение которых таковы, что поле сосредоточено в узком зазоре между обкладками.
Емкость конденсатора физическая величина, равная отношению заряда q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками j1–j2:
|
|
(1.42) |
Плоский конденсатор
Две параллельные металлические пластины площадью S каждая, расположенные на расстоянии d друг от друга и имеющие заряды +q и –q (рис. 1.27, 1.28).
|
Рис. 1.27. |
Рис.1.28. |
Напряженность поля между обкладками конденсатора E = s /(e0e) (см. п. 1.3.5), где s = q/S, e – диэлектрическая проницаемость среды. Напряжение между обкладками U = El·d = q·d/(e0S). После подстановки в (1.42) получим
|
|
|
(1.43) |
Сферический конденсатор (две концентрические сферы)
|
Рис.1.29. Сферический конденсатор |
Это две металлические концентрические сферы, разделенные сферическим слоем диэлектрика. Если внутренней обкладке сообщить заряд +q, на внутренней поверхности внешней обкладки индуцируется заряд -q, а на внешней ее поверхности +q. Этот заряд отводится в землю за счет заземления (см. рис. 1.29.). Поле такого конденсатора сосредоточено только между обкладками. |
|
|
Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора равны соответственно r и R. Разность потенциалов U (Иногда U называют напряжением, это устаревший термин. Напряжение U = IR – это произведение силы тока на сопротивление, а через конденсатор ток идти не должен. Если происходит пробой диэлектрика, конденсатор приходится выбрасывать) на конденсаторе:
|
|
Отсюда
|
|
(1.44) |
Цилиндрический конденсатор
|
Рис.1.30. Цилиндрический конденсатор |
Это два соосных металлических цилиндра, в промежутке между которыми – диэлектрик (вакуум, воздух и др.). Длина цилиндров-обкладок l, радиусы R и r (см. рис. 1.30). Длина цилиндров l много больше, чем зазор между ними. Рассуждая так же, как и в случае со сферическим конденсатором, получим |
|
|
|
l - линейная плотность заряда, q – заряд на всей длине l. |
|
|
|
|
|
|
(1.45) |
Эта формула выражает, в частности, емкость кабеля, который состоит из металлического провода, окруженного слоем изолятора и металлической броней.
|
|
1.7.3. Соединение конденсаторов в батареи |
|
|
Рис. 1.31. Параллельное соединение |
Рис. 1.32. Последовательное соединение |
Конденсаторы характеризуются пробойным напряжением (напряжением пробоя) – такой минимальной разностью потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Пробивное напряжение зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.
Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений конденсаторы соединяют в батареи, при этом используется их параллельное и последовательное соединения.
При параллельном соединении конденсаторов емкостью С1, С2 ¼ Сn разность потенциалов на обкладках конденсаторов Dj одинакова. Полная емкость
|
|
(1.46) |
При последовательном соединении конденсаторов емкостью С1, С2¼Сn заряды q всех обкладок равны, а суммарная разность потенциалов:
|
|
Откуда
|
|
(1.47) |
|
|
1.7.4. Энергия системы неподвижных точечных зарядов |
|
|
Рис. 1.33. |
Пусть два точечных заряда q1 и q2 находятся на расстоянии r друг от друга. Найдем работу по переносу в бесконечность сначала одного заряда, затем другого |
|
|
|
|
|
здесь А1, А2 - работа в 1-м и 2-м случаях; j2 -потенциал поля заряда q1 в точке, где находится q2; j1 потенциал поля заряда q2 в точке, где находится q1; т. к. А1 = А2, работу можно записать в виде
|
|
(1.48) |
Из механики: А=DW, W¥ = 0, следовательно, получим:
|
|
(1.49) |
W- электрическая энергия системы из 2-х точечных зарядов.
Рассуждая аналогично случаю 2-х точечных зарядов, можно получить энергию взаимодействия системы точечных неподвижных зарядов
|
|
(1.50) |
|
|
1.7.5. Энергия заряженного уединенного проводника |
|
Если заряды распределены в теле непрерывно, то суммирование заменяем на интегрирование. Если учесть, что для проводника j = const и использовать выражение для емкости проводника С=q/j, можно получить различные выражения для энергии проводника.
|
|
(1.51) |
|
|
1.7.6. Энергия заряженного конденсатора |
|
Рассмотрим две параллельные одинаковые незаряженные пластины, Мысленно перенесем с одной пластины на другую бесконечно малый заряд +dq. Для этого не требуется никакой работы, т.к. пластина пока не заряжена. После этого пластины окажутся разноименно заряженными, и между ними появится разность потенциалов Dj. Для переноса следующей «порции» заряда уже требуется работа. Элементарная работа внешних сил по перенесению малого заряда dq с обкладки 2 конденсатора на обкладку 1:
|
|
(1.52) |
Работа, которую надо затратить, чтобы зарядить конденсатор зарядом q, получается путем интегрирования (1.52).
Работа внешних сил при увеличении заряда конденсатора от 0 до q
|
|
(1.53) |
Так как А=DW, то энергия заряженного конденсатора
|
|
(1.54) |
|
|
1.7.7. Энергия электростатического поля |
|
Получим формулы для энергии, выразив ее через характеристики электрического поля, существующего вокруг заряженных тел: напряженность Е и электрическую индукцию D. Рассмотрим плоский конденсатор, считая поле между обкладками однородным. Энергия заряженного конденсатора
|
|
подставим в эту формулу выражение для емкости плоского
конденсатора 
,
получим
|
|
(1.55) |
|
|
|
|
|
(1.56) |
Обобщим полученные результаты на случай неоднородного поля. Введем понятие объемной плотности энергии. Объемная плотность энергии - это энергия, приходящаяся на единицу объема пространства
|
|
(Дж/м3). |
Объемная плотность энергии электростатического поля плоского конденсатора w
|
|
(1.57) |
где D = e0eE – электрическое смещение.
Запас энергии в элементарном объеме dV, т.е. в таком малом объеме, в пределах которого Е=const
|
|
|
Энергия электрического поля заряженного плоского конденсатора
|
|
(1.58) |
|
|
