Глава посвящена описанию метода комплексных граничных элементов (КМГЭ) для решения стационарных и нестационарных плоских задач гидродинамики со свободными границами и распараллеливанию алгоритма, реализующего данный метод.
Теория движений жидкости со свободными границами является одним из наиболее бурно развивающихся направлений современной гидродинамики. Результаты исследований течений жидкости со свободными поверхностями находят многочисленные технические приложения, прежде всего в тех областях, где вязкостью жидкости можно пренебречь. Однако, несмотря на многочисленные приложения, методы решения таких задач далеки от совершенства. Это обусловлено тем, что даже в рамках идеальной несжимаемой жидкости наличие свободных границ становится серьезным препятствием для исследования. Основная трудность заключается в том, что положение свободной границы заранее неизвестно и должно быть определено в ходе решения. Кроме того, на неизвестной свободной границе задаются нелинейные краевые условия.
В нелинейной постановке, при режимах движения наиболее интересных для исследований, наблюдаются нелинейные эффекты, связанные с весомостью: опрокидывание волн, разрушение волн на мелководье и т.д. Физические эксперименты для изучения этих явлений оказываются сложными и дорогостоящими, а быстрота протекания реальных процессов делает численные методы единственным источником информации о поле течения, поэтому разработка и тестирование надежных численных алгоритмов является актуальной задачей.
Появление быстродействующих ЭВМ и создание вычислительных методов внесло новую струю в решение задач со свободными поверхностями. Среди множества методов, применяемых для решения задач гидродинамики со свободными границами, хорошо зарекомендовали себя методы конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ), методы граничных элементов (МГЭ) и комплексных граничных элементов.
Метод конечных элементов, как и метод конечных разностей, требует для решения задачи разбиения всей области течения, в то время как методы на основе граничных интегральных уравнений - только границы рассматриваемой области. Вместе с тем если возникает необходимость отыскания решения в любой внутренней точке, то это можно сделать, используя известные значения функций на границе области. В результате использования методов на основе граничных интегральных уравнений размерность расчетной области понижается на единицу.
Полный обзор по технологии использования методов граничных элементов можно найти в монографиях [17, 20, 28, 58].
КМГЭ, в отличие от метода конечных элементов и конечных разностей, требует разбиения лишь границы рассматриваемой области, при этом размерность задачи снижается на единицу, что очень важно при проведении численных расчетов. Но даже при такой отличной особенности метода некоторые расчеты реальных задач занимают довольно продолжительное время. Например, один расчет нестационарной задачи наката уединенной волны на наклонный берег занимал от 8 до 20 часов на ПК класса Пентиум II с оперативной памятью 32Mb, а так как эта задача, да и большинство других являются многопараметрическими, то для полного изучения рассматриваемой задачи затрачивалось много времени(порядка нескольких недель). Сократить время расчетов удалось за счет перехода в программировании на совершенно новый уровень – параллельное программирование.
Предлагаемые алгоритмы для решения стационарных и нестационарных задач сопровождаются подробным описанием и листингами параллельных Фортран-программ.
Более подробное описание КМГЭ, алгоритмов для решения задач и наиболее интересные результаты численных расчетов, выполненных авторами, можно найти в учебном пособии [11].