Постановка плоской стационарной задачи со свободной границей
Рис. 60. Схема области течения и основные обозначения
Пусть задано течение идеальной
невязкой несжимаемой жидкости со свободной границей (рис. 60). Область течения
ограничена свободной границей
, участками втекания
и вытекания
, а также участком прямолинейного дна
.
Глубина жидкости на бесконечности принимается равной
, скорость течения
,
давление на свободной поверхности предполагается равным нулю
, ускорение силы тяжести
направлено вниз, против направления оси
.
Границы
и
должны
быть выбраны на достаточно большом удалении от выступа
с тем, чтобы поток через эти участки границы был близок к параллельному.
Данная задача описывается уравнением Лапласа
,
,
(1)
для функции комплексного
потенциала
, где
- потенциал скорости и
- функция тока,
удовлетворяющие условиям Коши-Римана.
На боковых участках границы области и дне выполняются краевые условия вида:
(2)
Свободная граница является линией тока
(
),
на которой справедливо уравнение Бернулли
. (3)
Задача является нелинейной в
силу нелинейности условия (3) и в силу того, что свободная граница
заранее неизвестна
и ее положение должно быть определено в ходе решения задачи.
Для численных расчетов задача
приводится к безразмерному виду. В качестве характерных размерных величин
выбирается глубина
и скорость потока
на бесконечности.
Краевая задача останется без изменения за исключением условия (3)
, которое преобразуется к виду
, (4)
где
- число Фруда.
Следует отметить, что данная
задача имеет неединственное решение для некоторого диапазона изменения числа
Фруда. Этот результат впервые был получен Н.Н. Моисеевым
[40],
который изучал в приближенной постановке задачу
обтекания бугра или впадины сверхкритическим потоком. Тривиальное решение данной
задачи описывает прямолинейный поток, другое – уединенные волны на поверхности
жидкости. Приведенная к безразмерному виду краевая задача зависит от числа Фруда
.
В работе [42]
с помощью вариационного принципа доказано, что для
бесконечного множества значений числа Фруда задача имеет, по крайней мере, два
различных решения. Следовательно, для получения однозначного решения
использовать число Фруда в качестве параметра задачи нецелесообразно. В работе
[29]
отмечается, что данная задача имеет единственное решение,
если в качестве определяющего течение параметра вместо числа Фруда задавать
безразмерный параметр
, характеризующий отношение скорости
в вершине волны к скорости набегающего потока на бесконечности
.
При этом число Фруда есть функция от
:
.
. Уравнение (3) справедливо для любой точки свободной границы. Обозначим
через 
- ординату вершины волны. Тогда
.
Поделив правую и левую части этого равенства на
и
воспользовавшись выражением для числа Фруда, получим
.
(5)
После этого (4) перепишется следующим образом
. (6)
Параметр
изменяется в пределах [0;1); 1 - соответствует бесконечному
числу Фруда, 0 - числу Фруда, близкому к единице, при котором амплитуда
построенной волны максимальна.
Алгоритм построения свободной границы
Нахождение
потенциала.
Пусть задано некоторое начальное положение свободной границы
.
Для того, чтобы начать итерационный процесс ее уточнения,
необходимо сначала определить потенциал
на свободной границе
.
Обозначим модуль вектора скорости через
.
(7)
Поскольку граница
является линией тока, то вектор скорости на ней направлен по
касательной. Отсюда следует, что
.
Так как потенциал скорости определяется с точностью до
аддитивной константы, полагаем
.
Далее для любой точки свободной границы имеем
,
(8)
где
- номера узлов точек свободной границы,
определяется формулой (7),
- длина
-го элемента свободной границы.
Определение формы свободной границы. Алгоритм нахождения свободной границы осуществляется по следующей схеме:
1)
пусть на
-й
итерации известно некоторое положение свободной границы
;
2)
по формуле (8) определяются значения
в узлах
на
;
3)
решается краевая задача с заданным распределением потенциала
на свободной границе
;
4) вычисляется новое положение свободной границы
, где
.
Цикл повторяется до выполнения требуемой точности
.
(9)
После сходимости итерационного процесса вычисляется число Фруда по формуле (5).
Во всех расчетах в качестве
нулевого приближения берется прямая линия
,
исключение составляет окрестность точки
,
в которой начальное значение
.
Постановка плоской нестационарной задачи со свободной границей
Рис. 61. Схема области течения и основные обозначения
В расчетной области течения
, ограниченной свободной поверхностью
и твердыми стенками
(рис. 61), решается уравнение Лапласа
,
,
(10)
для аналитической в области течения
функции комплексного потенциала
.
На твердых границах области выполняется условие непротекания
,
(11)
На свободной границе выполняются кинематическое и динамическое условия
,
(12)
,
(13)
где g - ускорение свободного падения. Начальное положение свободной границы,
соответствующее уединенной волне, и распределение потенциала на ней получены из
решения стационарной задачи об уединенной волне
[9].
При этом предполагается, что на бесконечности жидкость покоится:
.
В численных расчетах область
течения ограничивается вертикальными стенками, на которых ставится условие
непротекания. Для удобства численной реализации задача приводится к
безразмерному виду. В качестве характерных размерных величин выбираются
ускорение свободного падения
и глубина бассейна
.
При этом краевая задача (10)-(12) останется без изменений, а уравнение (13) примет вид:
.
(14)
По заданному начальному положению свободной границы и расположению препятствия требуется найти положение свободной границы в последующие моменты времени.
Алгоритм движения по времени
Метод Эйлера
Используемый ниже метод решения задачи впервые был предложен М.А. Лаврентьевым и Б.В. Шабатом [35] и хорошо зарекомендовал себя при решении задач со свободными границами [2, 3, 8, 10, 46].
Краевая задача (10)-(12), (14) является нестационарной, но в отличие от традиционных задач математической физики время явно входит только в граничные условия (12), (14), представляющие собой обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, для интегрирования которых используется явный метод Эйлера.
Пусть в некоторый момент времени
задано положение свободной границы
и распределение потенциала
на ней.
Далее необходимо решить уравнение Лапласа (10) в области
с условием
на
и условием (11) на
.
Новое положение свободной границы и распределение потенциала
на ней для момента времени
можно вычислить, используя условия (12) и (14),
дискретный аналог которых расписывается по схеме Эйлера следующим образом:
,
(16)
где
- значения функций на k-м шаге по времени.
Таким образом, получается
смешанная краевая задача для уравнения Лапласа (10)
с граничными условиями (11) и (16), но уже для момента времени
.
Повторное ее решение и использование граничных условий
позволяет определить положение свободной границы и распределение потенциала на
ней для момента времени
и т.д.
Выбор шага по времени
Соотношения (15) и (16) представляют собой метод Эйлера 1-го порядка точности. Во многих случаях точность метода Эйлера бывает недостаточной, поэтому необходимо проводить интегрирование уравнений (12) и (14) по схемам более высокого порядка точности [16, 18] или использовать различные модификации неявных методов.
Описанная в предыдущем пункте процедура движения по времени характеризует явный метод Эйлера, а поэтому условно устойчивый.
В работе для выбора шага интегрирования по времени используется алгоритм, описанный в [2, 8]. Предложенная методика позволяет выбирать шаг по времени, исходя из двух условий:
1) любая частица жидкости за временной шаг не может переместиться на расстояние больше заданного;
2) узлы любого элемента не могут изменять ориентацию относительно друг друга (исключается самопересечение области).
Введем величину
по следующему правилу
,
где
-
длина максимального граничного элемента свободной границы,
-
длина минимального элемента,
-
некоторый коэффициент из промежутка
.
Величина
будет характеризовать собой некоторую относительную меру
дискретизации границы расчетной области.
Первое условие приводит к следующему ограничению шага по
времени
,
где
-
заданное максимальное перемещение частиц за один временной шаг,
-
модуль максимальной скорости частиц.
Второе условие приводит к
следующему ограничению
.
Окончательно, шаг по времени будет -
.
При численных расчетах целесообразно задавать нижнюю
границу временного шага
.
Кроме того, задается ограничение на максимальный временной шаг
.
Это значение используется в качестве начального шага и
служит ограничителем при увеличении шага по времени. Увеличение шага выполняется
принудительно в случае, если за
шагов
не изменялось. В расчетах увеличение шага производилось в полтора раза, а
равнялось 50,
=0,01,
=0,0001.
Приведенная методика выбора шага по времени тестировалась на нелинейной задаче Релея о схлопывании сферической газовой полости в безграничной жидкости, для которой известно аналитическое решение [8].
