§38. Основное интегральное соотношение КМГЭ

Для области D, ограниченной кусочно-гладкой замкнутой границей , справедлива интегральная формула Коши, которую можно записать с помощью предельных формул Сохоцкого в виде:

,                                                    (17)

где для внутренней точки, для точки на гладкой границе , для угловой точки границы (- угол при вершине). Положительное направление обхода контура берется таким образом, чтобы область оставалась слева.

Учитывая, что на свободной поверхности известна действительная часть функции , а мнимая часть известна на остальных границах стенках, мы имеем смешанную краевую задачу для функции .

Численное решение этой задачи можно получить, разбив контур на линейных элементов узлами . Тогда ,

где - линейная глобальная пробная функция для и ,

где - значение в точке , - линейная базисная функция:

.                                     (18)

После указанного разбиения и линейной аппроксимации функции на границе интеграл Коши можно вычислить аналитически в смысле главного значения при .

Обозначение означает, что точка стремится к точке , оставаясь все время внутри области .

     (19)

Введем обозначение: .

В выражении (19) интегралы под знаком суммы не имеют особенности и вычисляются следующим образом:

 (20)

Два оставшихся интеграла имеют особенности при и могут быть представлены в виде:

.

Комбинируя четные и нечетные слагаемые по индексу , получим:

.

Комплексный логарифм в последнем слагаемом расписывается на действительную и мнимую части следующим образом:

где - угол при вершине, образованный и элементами.

Выражение (19) окончательно может быть записано в виде:

,                   (21)

где интегралы вычисляются по формуле (20).

Записывая уравнение (21) для каждого узла границы и разделив мнимые и действительные части, получим

AX+iBX=0,

где A и B- полнозаполненные матрицы (- строк, - столбцов), вектор X=X (). Далее, следуя [28], получаем следующую систему уравнений

         CY=F,                                                                         (22)

в которой матрица C и вектор правой части F получаются следующим образом: если в узле задан потенциал скорости , то берется -ая строка матрицы B, в которой после выборки всех элементов, соответствующих неизвестным значениям или , получается -ая строка матрицы С, -ым элементом вектора Y будет , а -ый элемент вектора F – это сумма известных значений или , умноженных на соответствующие элементы матрицы B; если в узле задана функция тока , то для построения -ой строки системы (22) используется матрица A.

Матрица С в системе (22) является полностью заполненной. В КМГЭ исходный эллиптический дифференциальный оператор сводится к интегральному уравнению Фредгольма II рода. Следовательно, полученная в результате применения метода граничных элементов матрица системы линейных алгебраических уравнений обладает хорошими свойствами и может быть решена прямым или итерационным методом.