§39. Дополнительные алгоритмы для реализации методов решения задач

Формулы численного дифференцирования функций, заданных на границе области

Для решения поставленной задачи необходимо вычислять компоненты вектора . Другими словами надо уметь вычислять производные от дискретно заданной функции комплексного потенциала по пространственным переменным.

Компоненты вектора скорости будем вычислять по следующим формулам:

, (23)

где - единичный вектор касательной, - единичный вектор внешней нормали. Обход по границе области осуществляется против часовой стрелки. Для вычисления узловых значений компонент вектора скорости можно использовать подход, предложенный в работе [59] и в дальнейшем развитый в работах [2,8]. Суть его состоит в следующем: строится отображение элемента границы области на пространство номеров узлов (числовую ось), как показано на рис.62.

Рис. 62. Отображение свободной границы на числовую ось

В силу того, что

можно записать

Очевидно, что при таком отображении будем иметь:

, , (24)

, ,

где .

Остается определить значения , , и .

Так как - это номер точки на числовой оси, то мы имеем дело с дифференцированием указанных функций на равномерной сетке с шагом .

Для нахождения первых производных воспользуемся формулами численного дифференцирования 5-го порядка точности [16, 18]:

, (25)

Используя (24), нетрудно получить дискретные значения для выражений, описываемых формулами (25).

Проверка законов сохранения массы и энергии

При решении нестационарных задач распространения волн по бассейну конечной глубины и их взаимодействию с различными преградами актуальными являются задачи определения давления на преграду и донные сооружения, изменения кинетической и потенциальной энергий. Кроме того, сохранение полной энергии позволяет осуществлять контроль за консервативностью численного метода.