Тема 3. Основы математической логики

1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
   Лабораторная работа № 3.  Основы математической логики.

2. Построение таблиц истинности и логических функций

Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b).

Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части - соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций.

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

  1. инверсия;
  2. конъюнкция;
  3. дизъюнкция;
  4. импликация;
  5. эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

  1. Определить количество строк:

    количество строк = 2n + строка для заголовка,

    n - количество простых высказываний.

  2. Определить количество столбцов:

    количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;


    • определить количество переменных (простых выражений);
    • определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
  3. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц истинности основных логических операций.

Пример: Составить таблицу истинности логического выражения:

D = ¬ А & (B Ú C).

Решение: Ù

  1. Определить количество строк:

    на входе три простых высказывания: А, В, С поэтому n=3 и количество строк = 23 +1 = 9.

  2. Определить количество столбцов:
    • простые выражения (переменные): А, В, С;
    • промежуточные результаты (логические операции):
      ¬ А - инверсия (обозначим через E);
      B Ú C - операция дизъюнкции (обозначим через F);
      а также искомое окончательное значение арифметического выражения:
      D = ¬ А & (B Ú C). т.е. D = E & F - это операция конъюнкции.
  3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций.

A

B 

C

E

F

E & F

 0

 0

 0

 1

 0

 0

 0

 0

 1

 1

 1

 1

 0

 1

 0

 1

 1

 1

 0

 1

 1

 1

 1

 1

 1

 0

 0

 0

 0

 0

 1

 0

 1

 0

 1

 0

 1

 1

 0

 0

 1

 0

 1

 1

 1

 0

 1

 0


Построение логической функции по ее таблице истинности:

Попробуем решить обратную задачу. Пусть дана таблица истинности для некоторой логической функции
Z(X,Y):

 X

 Y

 Z

 0

 0

 1

 0

 1

 0

 1

 0

 1

 1

 1

 0

Составить логическую функцию для заданной таблицы истинности.

Правила построения логической функции по ее таблице истинности:

  1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1.

  2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.

  3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.

  4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно 0, то этот аргумент взять с отрицанием.

Решение.

  1. В первой и третьей строках таблицы истинности значение функции равно 1.

  2. Так как строки две, получаем дизъюнкцию двух элементов: ( ) V ( ).

  3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции запишим в виде конъюнкции аргументов функции X и Y: (X & Y) V (X & Y).

  4. Берем аргумент с отрицанием если его значение в соответствующей строке таблицы равно 0 и получаем искомую функцию:
    Z (X, Y) =(¬ X & ¬Y) V (X & ¬Y).


вверх