Тензоры 2-го ранга

Согласно общему определению, для случая

можно получить частное определение: тензором 2-го ранга называется совокупность

величин $T_{ik}$ , которые преобразуются по закону

$\displaystyle T'_{ik} = \alpha_{im}\alpha_{kn}T_{kn}\ .$

(264)

Рассмотренный выше тензор инерции, согласно закону преобразования (257) и определению (264), является тензором 2-го ранга. Другим примером тензора второго ранга является $\delta$ -символ Кронекера. Действительно, компоненты $\delta$ -символа можно получить как скалярное произведение ортов прямоугольной системы:

$\displaystyle \delta_{mk}=({\mathbf e}_m,{\mathbf e}_k)$

(265)

$\displaystyle \delta'_{mk}=({\mathbf e}'_m,{\mathbf e}'_k).$

(266)

Используя закон преобразования ортов (37), а также (265) и (266), получим

$\displaystyle \delta'_{mk}=\alpha_{mn}\alpha_{kl}({\mathbf e}_n,{\mathbf e}_l) = \alpha_{mn}\alpha_{kl}\delta_{nl}\ ,$

(267)

откуда видно, что $\delta$ -символ преобразуется как тензор 2-го ранга. Продолжая вычисления в (267),

$\displaystyle \delta'_{mk} = \alpha_{mn}\alpha_{kn} = \delta_{mk}\ .$

(268)

Таким образом, преобразуясь как тензор 2-го ранга, дельта-символ, в то же время, не меняет своего вида. Такие тензоры называются инвариантными.

И наконец, тензор 2-го ранга можно получить как прямое произведение двух векторов, тензоров 1-го ранга. Действительно, пусть

- компоненты векторов ${\mathbf A}$ и ${\mathbf B}$ . Тогда, составляя

величин $T_{ik}=A_iB_k$ , легко показать, что они преобразуются по закону

$\displaystyle T'_{ik} = A'_i B'_k = \alpha_{im} A_m \alpha_{kn}B_n = \alpha_{im}\alpha_{kn} A_m B_n = \alpha_{im}\alpha_{kn} T_{mn},$

(269)

который соответствует определению тензора 2-го ранга (264).


			Содержание