5. Основы тензорного анализа

Тензоры общего вида 5.16. Алгебра тензоров общего вида Евклидово пространство n измерений


В настоящем разделе будут приведены основные правила выполнения действий с тензорами общего вида, которые определяются согласно (325), при этом соответствующие доказательства будут опущены, поскольку они во многом подобны уже рассмотренным выше для "простых" тензоров и могут служить хорошим упражнением для читателя.
а) сложение тензоров: суммой тензоров $ {\mathbf L}(l,m)$ и $ {\mathbf M}(l,m)$ называется новый тензор такого же ранга и обозначаемый как $ {\mathbf N}(l,m)={\mathbf L}(l,m)+{\mathbf M}(l,m)$ с координатами:
$\displaystyle {N}_{{i}_1{i}_2\dots{i}_l}^{{j}_1{j}_2\dots{j}_m} = {L}_{{i}_1{i}... ...}^{{j}_1{j}_2\dots{j}_m} + {M}_{{i}_1{i}_2\dots{i}_l}^{{j}_1{j}_2\dots{j}_m}\ .$ (326)
Например, сложение двух контравариантных тензоров 1-го ранга $ a^i+b^i=c^i$ соответствует сложению векторов $ {\mathbf a}+{\mathbf b}={\mathbf c}$, а ковариантных $ \varphi_i+f_i=g_i$ - сложению двух функций от векторов $ \varphi({\mathbf a})+f({\mathbf a})=g({\mathbf a})$. Отметим, что сложение тензоров коммутативно;

б) умножение тензоров: правило умножения тензоров можно записать в форме
$\displaystyle {\mathbf L}(l,m)\cdot{\mathbf M}(p,q) = {\mathbf N}(l+p,m+q)$ (327)
или в координатах
$\displaystyle N_{i_1i_2\dotsi_li_{l+1}\dots i_{l+p}}^{j_1j_2\dotsi_mi_{m+1}\dot... ...}_m} {M}_{{i}_{l+1}{i}_{l+2}\dots{i}_{l+p}}^{{j}_{m+1}{j}_{m+2}\dots{j}_{m+q}}.$ (328)
Произведение тензоров в общем случае некоммутативно, так как в определение этого действия входит способ нумерации координат тензоров с помощью индексов.

      Пример 5-1. Рассмотрим выражение
$\displaystyle a^i_j = b^ic_j, $
которое, согласно (328), является тензором второго ранга. С другой стороны тензор $ a^i_j$ определяет линейный оператор $ {\mathbf y}=\hat{A}{\mathbf x}$, т. е. $ y_i = a^i_j x^j=b^i c_j x^j$. Но $ c_j x^j= \varphi({\mathbf x})$ - линейная функция. Таким образом, действие оператора $ \hat{A}$, который равен произведению ковариантного и контравариантного тензоров,равно
$\displaystyle \hat{A}{\mathbf x} = {\mathbf b}\varphi({\mathbf x});$ (329)

в) свертка: как и раньше, указанная операция позволяет строить новые тензоры с помощью суммирования координат, которое "объединяет" выбранные пары индексов, в которых, учитывая свойства рассматриваемых тензоров, один индекс должен быть верхним, а второй (обязательно) - нижним. Например, из тензора $ {\mathbf T}(l,m)$ ранга $ (l+m)$ можно построить новый тензор $ {\mathbf N}(l-1,m-1)$ следующим образом:
$\displaystyle N_{i_1i_2\dots i_{k-1} i_{k+1}\dots i_l}^{j_1 j_2 \dots j_{k-1}j_... ...f i_k} i_{k+1}\dots i_l}^{j_1 j_2 \dots j_{k-1} {\mathbf i_k} j_{k+1}\dots j_m}$ (330)
при этом ранг тензора понижается на 2;

г) подстановка индексов: в определение оператора входит положение ковариантных и контравариантных индексов. Поэтому, если переставить местами пары ковариантных или контравариантных индексов (но не ковариантного с контравариантным !), то получится новый тензор
$\displaystyle T_{i_1 \dots i_k\dots i_n\dots i_l}^{j_1\dots j_m}\quad \longrightarrow T_{i_1 \dots i_n\dots i_k\dots i_l}^{j_1\dots j_m},$ (331)
а указанное действие называется подстановкой индексов. При подстановке структура нового тензора не меняется, т. е. в выбранном базисе набор координат будет таким же, но "принадлежать" эти координаты будут другим базисным векторам, определяя, таким образом, новый тензор. Сама по себе операция подстановки индексов малосодержательна и ее основное значение сказывается в операциях, где она комбинируется со сложением, особенно при симметрировании и альтерации. При симметрировании новый тензор получается как результат усреднения координат тензора, соответствующих всевозможным перестановкам из выбранных $ N$ индексов общим числом $ N!$. Обозначается симметрирование круглыми скобками, которые заключают выбранные индексы. Например, для симметрирования по 2-м индексам
$\displaystyle T_{\dots(ij)\dots}^{\dots\dots\dots} = \displaystyle{\frac{1}{2}}... ...ots ij\dots}^{\dots\dots\dots} + T_{\dots ji\dots}^{\dots\dots\dots} \right)\ .$ (332)

При симметрировании по трем индексам имеем ($ N=3$, $ N!=6$):
\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} T_{\dots(ijk)\dots}^{\dots\dots\dots} &=&\... ...T_{\dots(kji)\dots}^{\dots\dots\dots} \biggr]\ . \\ \end{array}\end{displaymath} (333)

Как видно из определения и приведенных примеров, операция симметрирования позволяет получать симметричные тензоры, свойства которых были рассмотрены ранее.

Операция альтерирования, которая обозначается квадратными скобками, подобна симметрированию, но координаты тензора при этом дополнительно умножаются на $ (-1)^P$, где $ P$ - четность перестановки индексов. Например,
$\displaystyle T_{\dots[ij]\dots}^{\dots\dots\dots} = \displaystyle{\frac{1}{2}}... ...\dots ij\dots}^{\dots\dots\dots} - T_{\dots ji\dots}^{\dots\dots\dots} \right).$ (334)
Операция альтерирования позволяет, таким образом, получать тензоры антисимметричные или кососимметричные по индексам, участвовавшим в альтерации. Отметим очевидное свойство: если $ A_{\dots ij\dots}^{\dots\dots\dots} = T_{\dots[ij]\dots}^{\dots\dots\dots}$, то $ A_{\dots ij\dots}^{\dots\dots\dots} = 0$ и в том числе для любого числа альтерированных индексов.
Векторный анализ в криволинейных координатах Литература
Тензоры общего вида   Содержание   Евклидово пространство n измерений