Евклидово пространство измерений

До настоящего времени рассматривалась так называемая аффинная геометрия, т. е. некоторое абстрактное

-мерное линейное пространство без метрических свойств, введение которых требует дополнительной операции, называемой скалярным произведением векторов и позволяющей определить понятие евклидова пространства. Зададим на линейном пространстве симметричную билинейную скалярную функцию $\varphi({\mathbf x},{\mathbf y})$ :

которая является невырожденной, что эквивалентно условию:

Тогда эта билинейная функция будет определять скалярное произведение. Так как функция (335) задана навсегда, то скалярное произведение можно (и удобно) переобозначить как $({\mathbf x},{\mathbf y})$ . Скалярный квадрат вектора ${\mathbf x}$ можно вычислить как

Два вектора ${\mathbf x}$ и ${\mathbf y}$ будут называться ортогональными, если

Длиной вектора называется величина

Евклидово пространство распадается на два больших класса: вещественное ${\mathbf R}_n$ и комплексное ${\mathbf R}^+_n$ , в зависимости от того, какими являются координаты векторов линейного пространства. В свою очередь, вещественные евклидовые пространства также делятся на два подкласса:

Собственно евклидово пространство является обощением 3-х мерного пространства и с точностью до изоморфизма для каждого

существует одно собственно евклидово пространство.

Псевдоевклидовы пространства, которые, в частности, используются в специальной теории относительности, обладают весьма своеобразными свойствами, которые не имеют аналогов в обычной геометрии. Так, из (341) сразу следует, что длина вектора в этом случае может быть и вещественной, и мнимой, и даже нулем, хотя сам вектор нулевым может и не быть. Мнимая длина - это единственная комплексная величина в вещественном псевдоевклидовом пространстве. Для данного

можно построить

различных псевдоевклидовых пространств.

Как было показано выше, задание билинейной функции $\varphi({\mathbf x},{\mathbf y})$ равносильно заданию дважды ковариантного тензора $\varphi_{ij}=\varphi({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)$ и $\varphi({\mathbf x},{\mathbf y})=\varphi_{ij}x^i y^j$ . В случае скалярного произведения $({\mathbf x},{\mathbf y})$ принято называть этот тензор метрическим (часто просто метрикой) и обозначать его координаты как $g_{ij}$ .Тогда

При ${\mathbf x}={\mathbf y}$ получим скалярный квадрат вектора ${\mathbf x}$ :

Условие симметрии скалярного произведения $({\mathbf x},{\mathbf y})=({\mathbf y},{\mathbf x})$ равносильно симметричности метрического тензора

а условие невырожденности (337) означает, что

Свойство (346) означает, что матрица координат $g_{ij}$ имеет обратную, а ее элементы $g^{ij}$ определяют контравариантный метрический тензор ${\mathbf g}^{-1}$ :