3. Геометрическая алгебра Древней Греции.

Тема 1. Основания математики

1. История развития математики.
2. Обозначения чисел и история систем счисления.
3. Понятие системы счисления.
Лабораторная работа № 1. Системы счисления.

3. Понятие системы счисления

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р. Число X в системе с основанием р обозначается как X_p. Основание системы записывается справа от числа в нижнем индексе: 5₁₀, 1110110₂, AF178₁₆ и т.д.

Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”.

База системы — это последовательность цифр, используемых для записи числа. Ни в одной системе нет цифры, равной основанию системы.

Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину.

Наиболее используемые в информатике системы счисления:

двоичная, над алфавитом Х = {0, 1};

восьмеричная, над алфавитом Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};

шестнадцатеричная, над алфавитом Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы, а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом:

(x)_p = x_np^n-1 + x_n-1p^n-2 + ... + x₂p¹ + x₁p⁰.

Пример 1.

1101₂ = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13₁₀,

157₈ = 1 * 8² + 5 * 8¹ + 7 * 8⁰ = 64 + 40 + 7 = 111₁₀,

A6F₁₆ = 10 * 256 + 6 * 16 + 15 * 1 = 267₁₀,

Для представления чисел используются позиционные и непозиционные системы счисления.

Система счисления в которой вес цифры (или символа алфавита) зависит от ее места в записи числа или слова называется позиционной; в противном случае система называется непозиционной.

Пример 2.

Непозиционная система счисления - римская. Примеры числел в этой системе: III - 3, VI - 6, LXXVI - 76 (где L=50, X=10, V=5, I=1).

Позиционные системы счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др. Человек привык пользоваться десятичной позиционной системой, в которой числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.

Алгоритм перевода десятичных чисел в р-ную систему счисления:

последовательно делить число х₁₀, а затем все частные (получаемые при делении) на р - основание системы, в которую переводится число до тех пор, пока не получится в очередном частном число меньшее р;

сформировать новое число, последовательно приписывая остатки от деления начиная с последнего частного;

Пример 3. Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления.

Решение. Делим число 22₁₀ последовательно на 2 до тех пор, пока не получится в очередном частном число меньшее или равное 1

Записываем остатки от деления в обратном порядке и получаем новое число: 10110₂.

Пример 4. Число 571₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение. Делим число 571₁₀ последовательно на 8 до тех пор, пока не получится в очередном частном число меньшее или равное 7

Записываем остатки от деления в обратном порядке и получаем новое число: 1073₈.

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо записать его в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

x₂ =A_n2^n-1 + A_n-12^n-2 + ... + A₂2¹ + A₁2⁰.

Пример 5. Число 11101000₂ перевести в десятичную систему счисления.

Решение.

11101000₂ =1 * 2⁷ + 1 * 2⁶ + 1 * 2⁵ + 0 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 232₁₀.

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо записать его в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

x₈ =A_n8^n-1 + A_n-18^n-2 + ... + A₂8¹ + A₁8⁰.

Пример 6. Число 75013₈ перевести в десятичную систему счисления.

Решение.

75013₈ =7 * 8⁴ + 5 * 8³ + 0 * 8² + 1 * 8¹ + 3 * 8⁰ = 31243₁₀.

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой.

Пример 7. Число 1001011₂ перевести в восьмеричную систему счисления.

Решение. 001 001 011₂ = 113₈.

вверх