5. Основы тензорного анализа
5.16. Алгебра тензоров общего вида
В настоящем разделе будут приведены основные правила выполнения действий с тензорами общего
вида, которые определяются согласно (
325), при этом соответствующие доказательства
будут опущены, поскольку они во многом подобны уже рассмотренным выше для "простых" тензоров
и могут служить хорошим упражнением для читателя.
а)
сложение тензоров: суммой тензоров
![$ {\mathbf L}(l,m)$](img1272.png)
и
![$ {\mathbf M}(l,m)$](img1273.png)
называется новый тензор
такого же ранга и обозначаемый как
![$ {\mathbf N}(l,m)={\mathbf L}(l,m)+{\mathbf M}(l,m)$](img1274.png)
с координатами:
![$\displaystyle {N}_{{i}_1{i}_2\dots{i}_l}^{{j}_1{j}_2\dots{j}_m} = {L}_{{i}_1{i}...
...}^{{j}_1{j}_2\dots{j}_m} + {M}_{{i}_1{i}_2\dots{i}_l}^{{j}_1{j}_2\dots{j}_m}\ .$](img1275.png) |
(326) |
Например, сложение двух контравариантных тензоров 1-го ранга
![$ a^i+b^i=c^i$](img1276.png)
соответствует сложению
векторов
![$ {\mathbf a}+{\mathbf b}={\mathbf c}$](img1173.png)
, а ковариантных
![$ \varphi_i+f_i=g_i$](img1277.png)
- сложению двух функций от векторов
![$ \varphi({\mathbf a})+f({\mathbf a})=g({\mathbf a})$](img1278.png)
. Отметим, что сложение тензоров коммутативно;
б) умножение тензоров: правило умножения тензоров можно записать в форме
![$\displaystyle {\mathbf L}(l,m)\cdot{\mathbf M}(p,q) = {\mathbf N}(l+p,m+q)$](img1279.png) |
(327) |
или в координатах
![$\displaystyle N_{i_1i_2\dotsi_li_{l+1}\dots i_{l+p}}^{j_1j_2\dotsi_mi_{m+1}\dot...
...}_m} {M}_{{i}_{l+1}{i}_{l+2}\dots{i}_{l+p}}^{{j}_{m+1}{j}_{m+2}\dots{j}_{m+q}}.$](img1280.png) |
(328) |
Произведение тензоров в общем случае некоммутативно, так как в определение этого действия входит
способ нумерации координат тензоров с помощью индексов.
Пример 5-1. Рассмотрим выражение
которое, согласно (
328), является тензором второго ранга. С другой стороны тензор
![$ a^i_j$](img1282.png)
определяет линейный оператор
![$ {\mathbf y}=\hat{A}{\mathbf x}$](img1283.png)
, т. е.
![$ y_i = a^i_j x^j=b^i c_j x^j$](img1284.png)
. Но
![$ c_j x^j= \varphi({\mathbf x})$](img1285.png)
- линейная функция. Таким образом, действие оператора
![$ \hat{A}$](img1286.png)
, который
равен произведению ковариантного и контравариантного тензоров,равно
![$\displaystyle \hat{A}{\mathbf x} = {\mathbf b}\varphi({\mathbf x});$](img1287.png) |
(329) |
в)
свертка: как и раньше, указанная операция позволяет строить новые тензоры с помощью
суммирования координат, которое "объединяет" выбранные пары индексов, в которых, учитывая свойства
рассматриваемых тензоров, один индекс должен быть верхним, а второй (обязательно) - нижним. Например,
из тензора
![$ {\mathbf T}(l,m)$](img1267.png)
ранга
![$ (l+m)$](img1266.png)
можно построить новый тензор
![$ {\mathbf N}(l-1,m-1)$](img1288.png)
следующим
образом:
![$\displaystyle N_{i_1i_2\dots i_{k-1} i_{k+1}\dots i_l}^{j_1 j_2 \dots j_{k-1}j_...
...f i_k} i_{k+1}\dots i_l}^{j_1 j_2 \dots j_{k-1} {\mathbf i_k} j_{k+1}\dots j_m}$](img1289.png) |
(330) |
при этом ранг тензора понижается на 2;
г) подстановка индексов: в определение оператора входит положение ковариантных и контравариантных
индексов. Поэтому, если переставить местами пары ковариантных или контравариантных индексов (но не
ковариантного с контравариантным !), то получится новый тензор
![$\displaystyle T_{i_1 \dots i_k\dots i_n\dots i_l}^{j_1\dots j_m}\quad \longrightarrow T_{i_1 \dots i_n\dots i_k\dots i_l}^{j_1\dots j_m},$](img1290.png) |
(331) |
а указанное действие называется подстановкой индексов. При подстановке структура нового тензора не
меняется, т. е. в выбранном базисе набор координат будет таким же, но "принадлежать" эти координаты
будут другим базисным векторам, определяя, таким образом, новый тензор. Сама по себе операция подстановки
индексов малосодержательна и ее основное значение сказывается в операциях, где она комбинируется со
сложением, особенно при
симметрировании и
альтерации. При симметрировании новый тензор
получается как результат усреднения координат тензора, соответствующих всевозможным перестановкам
из выбранных
![$ N$](img1291.png)
индексов общим числом
![$ N!$](img1292.png)
. Обозначается симметрирование круглыми скобками, которые
заключают выбранные индексы. Например, для симметрирования по 2-м индексам
![$\displaystyle T_{\dots(ij)\dots}^{\dots\dots\dots} = \displaystyle{\frac{1}{2}}...
...ots ij\dots}^{\dots\dots\dots} + T_{\dots ji\dots}^{\dots\dots\dots} \right)\ .$](img1293.png) |
(332) |
При симметрировании по трем индексам имеем (
![$ N=3$](img1294.png)
,
![$ N!=6$](img1295.png)
):
![\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} T_{\dots(ijk)\dots}^{\dots\dots\dots} &=&\...
...T_{\dots(kji)\dots}^{\dots\dots\dots} \biggr]\ . \\ \end{array}\end{displaymath}](img1296.png) |
(333) |
Как видно из определения и приведенных примеров, операция симметрирования позволяет получать симметричные
тензоры, свойства которых были рассмотрены ранее.
Операция альтерирования, которая обозначается квадратными скобками, подобна симметрированию, но координаты
тензора при этом дополнительно умножаются на
![$ (-1)^P$](img1297.png)
, где
![$ P$](img1298.png)
- четность перестановки индексов. Например,
![$\displaystyle T_{\dots[ij]\dots}^{\dots\dots\dots} = \displaystyle{\frac{1}{2}}...
...\dots ij\dots}^{\dots\dots\dots} - T_{\dots ji\dots}^{\dots\dots\dots} \right).$](img1299.png) |
(334) |
Операция альтерирования позволяет, таким образом, получать тензоры антисимметричные или
кососимметричные по индексам, участвовавшим в альтерации. Отметим очевидное свойство:
если
![$ A_{\dots ij\dots}^{\dots\dots\dots} = T_{\dots[ij]\dots}^{\dots\dots\dots}$](img1300.png)
, то
![$ A_{\dots ij\dots}^{\dots\dots\dots} = 0$](img1301.png)
и в том числе для любого числа альтерированных индексов.