5. Основы тензорного анализа
5.15. Тензоры общего вида
Наряду с рассмотренными ко- и контравариантными тензорами существуют тензоры, которые одновременно
являются и ковариантными, и контравариантными. Например, рассмотрим правило, сопоставляющее каждому
вектору
![$ n$](img4.png)
-мерного пространства новый вектор
![$\displaystyle {\mathbf b}=\hat{L}{\mathbf a}.$](img1239.png) |
(312) |
Такое правило называется
оператором или
аффинором, а вычисление результата, т. е. вектора
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
, - действием оператора
![$ \hat{L}$](img1240.png)
на вектор
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
. Пусть правило (
312) обладает
свойством линейности
![$\displaystyle \hat{L}(\alpha_1{\mathbf a}_1+\alpha_2{\mathbf a}_2) = \alpha_1\hat{L}({\mathbf a}_1) + \alpha_2\hat{L}({\mathbf a}_2),$](img1241.png) |
(313) |
где
![$ \alpha_1, \alpha_2$](img1242.png)
- числа. Подействуем оператором
![$ \hat{L}$](img1240.png)
на базисный вектор
![$\displaystyle \hat{L}{\mathbf e}_i = {\mathbf u}_i = u_i{}^j {\mathbf e}_j,$](img1243.png) |
(314) |
где
![$ u_i{}^j$](img1244.png)
- контравариантные координаты вектора
![$ {\mathbf u}_i$](img1245.png)
. Тогда, согласно (
312) и
(
314)
![$\displaystyle \hat{L}{\mathbf a} = \hat{L}a^i{\mathbf e}_i = a^i\hat{L}{\mathbf e}_i = a^i u_i{}^j{\mathbf e}_j = {\mathbf b} = b^j {\mathbf e}_j,$](img1246.png) |
(315) |
т. е. координаты нового вектора, который получается из вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
действием оператора
![$ \hat{L}$](img1240.png)
и самого вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
, связаны соотношением
![$\displaystyle b^j = u_i{}^j a_i.$](img1247.png) |
(316) |
Из (
316) видно, что коэффициенты разложения всех базисных векторов
![$ u_i{^j}$](img1248.png)
полностью
определяют способ вычисления результатов действия оператора
![$ \hat{L}$](img1240.png)
в (
312). Эти коэффициенты,
по аналогии с векторами назовем координатами оператора. Поскольку координаты оператора "привязаны" к соответствующему базису
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
, то изменение этого базиса будет вызывать и изменение
![$ u_i{^j}$](img1248.png)
. Действительно
![$\displaystyle \hat{L}{\mathbf e}'_{i'} = u'_{i'}{}^{j'}{\mathbf e}_{j'}$](img1249.png) |
(317) |
и тогда, с одной стороны, выражая
![$ {\mathbf e}'_{i}$](img1250.png)
через
![$ {\mathbf e}_{i}$](img1251.png)
и учитывая линейность
![$ \hat{L}$](img1240.png)
,
![$\displaystyle \hat{L}{\mathbf e}'_{i'}=\hat{L}A_{i'}{}^j{\mathbf e}_j = A_{i'}{}^j u_j{}^k{\mathbf e}_k,$](img1252.png) |
(318) |
а с другой, после преобразования правой части (
317)
![$\displaystyle \hat{L}{\mathbf e}'_{i'} = {u'}_{i'}^{j'}A_{j'}{}^k{\mathbf e}_k.$](img1253.png) |
(319) |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых базисных векторах в (
318) и (
319),
получим:
![$\displaystyle u'_{i'}{}^{j'}A_{j'}{}^{k} = A_{i'}{}^j u_j{}^k\ ,$](img1254.png) |
(320) |
откуда можно окончательно выразить
![$ u'_{i'}{}^{j'}$](img1255.png)
через
![$ u_i{}^{j}$](img1256.png)
:
![$\displaystyle {u'}_{i'}^{j'} = A_{i'}{}^{i}(A^{-1})_j{}^{j'} u_i{}^j,$](img1257.png) |
(321) |
что дает закон преобразования координат оператора (аффинора). Из (
321) видно,
что один индекс (
![$ i$](img174.png)
) преобразуется по ковариантному закону, а другой
![$ (j)$](img1258.png)
- по контравариантному.
Совокупность координат
![$ u_i{}^k$](img1259.png)
оператора
![$ \hat{L}$](img1240.png)
, заданного в каждом базисе (и сам оператор)
называют тензором ранга 2, один раз ковариантным и один раз контравариантным
![$ ({\mathbf U}(1,1))$](img1260.png)
.
Отметим важный случай тождествнного (единичного) оператора:
![$\displaystyle {\mathbf a} = \hat{E}{\mathbf a},$](img1261.png) |
(322) |
![$\displaystyle a^i = e_k{}^i a^k$](img1262.png) |
(323) |
и, сравнивая (
323) с определением дельта-символа, находим
![$\displaystyle e_k{}^i = \delta_k{}^i.$](img1263.png) |
(324) |
Единичный оператор является примером инвариантного тензора ранга 2, один раз ковариантного и один
раз контравариантного. Свойство инвариантности следует из закона преобразования координат единичного
оператора. Действительно, применяя закон преобразования (
321) для случая
![$ u_i{}^j=\delta_i{}^j$](img1264.png)
,
получим:
т. е. координаты единичного инвариантного тензора не зависят от выбора базиса.
Приведенные рассуждения и примеры позволяют дать общее определение тензора:
- тензором ранга
![$ (l+m)$](img1266.png)
,
![$ l$](img302.png)
раз ковариантным и
![$ m$](img254.png)
раз контравариантным, определенным в
линейном пространстве размерности
![$ n$](img4.png)
, называется объект
![$ {\mathbf T}(l,m)$](img1267.png)
, который в любом базисе
задается числами, занумерованными
![$ l$](img302.png)
нижними и
![$ m$](img254.png)
верхними индексами
![$ T_{i_1,i_2,dots,i_l}^{j_1,j_2,\dots,j_m}$](img1268.png)
; в разных базисах эти наборы чисел разные, но их
значения связаны между собой с помощью
![$ l$](img302.png)
матриц
![$ A_{i}{}^{i'}$](img1269.png)
преобразования базиса и
![$ m$](img254.png)
контрагредиентных матриц
![$ (A^{-1})_{i}{}^{i'}$](img1270.png)
:
![$\displaystyle {T'}_{{i'}_1{i'}_2\dots{i'}_l}^{{j'}_1{j'}_2\dots{j'}_m} = A_{i'_...
... (A^{-1})_{j_m}{}^{{j'}_m} {T}_{{i}_1{i}_2\dots{i}_l}^{{j}_1{j}_2\dots{j}_m}\ .$](img1271.png) |
(325) |