5. Основы тензорного анализа

Понятие контравариантного тензора 5.15. Тензоры общего вида Алгебра тензоров общего вида


Наряду с рассмотренными ко- и контравариантными тензорами существуют тензоры, которые одновременно являются и ковариантными, и контравариантными. Например, рассмотрим правило, сопоставляющее каждому вектору $ n$-мерного пространства новый вектор
$\displaystyle {\mathbf b}=\hat{L}{\mathbf a}.$ (312)
Такое правило называется оператором или аффинором, а вычисление результата, т. е. вектора $ {\mathbf b}$, - действием оператора $ \hat{L}$ на вектор $ {\mathbf a}$. Пусть правило (312) обладает свойством линейности
$\displaystyle \hat{L}(\alpha_1{\mathbf a}_1+\alpha_2{\mathbf a}_2) = \alpha_1\hat{L}({\mathbf a}_1) + \alpha_2\hat{L}({\mathbf a}_2),$ (313)
где $ \alpha_1, \alpha_2$ - числа. Подействуем оператором $ \hat{L}$на базисный вектор
$\displaystyle \hat{L}{\mathbf e}_i = {\mathbf u}_i = u_i{}^j {\mathbf e}_j,$ (314)
где $ u_i{}^j$ - контравариантные координаты вектора $ {\mathbf u}_i$. Тогда, согласно (312) и (314)
$\displaystyle \hat{L}{\mathbf a} = \hat{L}a^i{\mathbf e}_i = a^i\hat{L}{\mathbf e}_i = a^i u_i{}^j{\mathbf e}_j = {\mathbf b} = b^j {\mathbf e}_j,$ (315)
т. е. координаты нового вектора, который получается из вектора $ {\mathbf a}$ действием оператора $ \hat{L}$ и самого вектора $ {\mathbf a}$, связаны соотношением
$\displaystyle b^j = u_i{}^j a_i.$ (316)
Из (316) видно, что коэффициенты разложения всех базисных векторов $ u_i{^j}$ полностью определяют способ вычисления результатов действия оператора $ \hat{L}$ в (312). Эти коэффициенты, по аналогии с векторами назовем координатами оператора. Поскольку координаты оператора "привязаны" к соответствующему базису $ {\mathbf e}_i$, то изменение этого базиса будет вызывать и изменение $ u_i{^j}$. Действительно
$\displaystyle \hat{L}{\mathbf e}'_{i'} = u'_{i'}{}^{j'}{\mathbf e}_{j'}$ (317)
и тогда, с одной стороны, выражая $ {\mathbf e}'_{i}$ через $ {\mathbf e}_{i}$ и учитывая линейность $ \hat{L}$,
$\displaystyle \hat{L}{\mathbf e}'_{i'}=\hat{L}A_{i'}{}^j{\mathbf e}_j = A_{i'}{}^j u_j{}^k{\mathbf e}_k,$ (318)
а с другой, после преобразования правой части (317)
$\displaystyle \hat{L}{\mathbf e}'_{i'} = {u'}_{i'}^{j'}A_{j'}{}^k{\mathbf e}_k.$ (319)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых базисных векторах в (318) и (319), получим:
$\displaystyle u'_{i'}{}^{j'}A_{j'}{}^{k} = A_{i'}{}^j u_j{}^k\ ,$ (320)
откуда можно окончательно выразить $ u'_{i'}{}^{j'}$ через $ u_i{}^{j}$:
$\displaystyle {u'}_{i'}^{j'} = A_{i'}{}^{i}(A^{-1})_j{}^{j'} u_i{}^j,$ (321)
что дает закон преобразования координат оператора (аффинора). Из (321) видно, что один индекс ($ i$) преобразуется по ковариантному закону, а другой $ (j)$ - по контравариантному. Совокупность координат $ u_i{}^k$ оператора $ \hat{L}$, заданного в каждом базисе (и сам оператор) называют тензором ранга 2, один раз ковариантным и один раз контравариантным $ ({\mathbf U}(1,1))$.

Отметим важный случай тождествнного (единичного) оператора:
$\displaystyle {\mathbf a} = \hat{E}{\mathbf a},$ (322)
$\displaystyle a^i = e_k{}^i a^k$ (323)
и, сравнивая (323) с определением дельта-символа, находим
$\displaystyle e_k{}^i = \delta_k{}^i.$ (324)
Единичный оператор является примером инвариантного тензора ранга 2, один раз ковариантного и один раз контравариантного. Свойство инвариантности следует из закона преобразования координат единичного оператора. Действительно, применяя закон преобразования (321) для случая $ u_i{}^j=\delta_i{}^j$, получим:
$\displaystyle {\delta'}_{i'}{}^{j'} = A_{i'}{}^{i}(A^{-1})_j{}^{j'} \delta_i{}^j = A_{i'}{}^{i}(A^{-1})_i{}^{j'} = \delta_{i'}{}^{j'}\ , $
т. е. координаты единичного инвариантного тензора не зависят от выбора базиса.

       Приведенные рассуждения и примеры позволяют дать общее определение тензора:
      - тензором ранга $ (l+m)$, $ l$ раз ковариантным и $ m$ раз контравариантным, определенным в линейном пространстве размерности $ n$, называется объект $ {\mathbf T}(l,m)$, который в любом базисе задается числами, занумерованными $ l$ нижними и $ m$ верхними индексами $ T_{i_1,i_2,dots,i_l}^{j_1,j_2,\dots,j_m}$; в разных базисах эти наборы чисел разные, но их значения связаны между собой с помощью $ l$ матриц $ A_{i}{}^{i'}$ преобразования базиса и $ m$ контрагредиентных матриц $ (A^{-1})_{i}{}^{i'}$:
$\displaystyle {T'}_{{i'}_1{i'}_2\dots{i'}_l}^{{j'}_1{j'}_2\dots{j'}_m} = A_{i'_... ... (A^{-1})_{j_m}{}^{{j'}_m} {T}_{{i}_1{i}_2\dots{i}_l}^{{j}_1{j}_2\dots{j}_m}\ .$ (325)

Векторный анализ в криволинейных координатах Литература
Понятие контравариантного тензора   Содержание   Алгебра тензоров общего вида