5. Основы тензорного анализа
5.14. Понятие контравариантного тензора
Важным примером контравариантного тензора являются контравариантные координаты
![$ a^i$](img1179.png)
(
283)
фиксированного вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
, преобразующиеся при изменении базиса согласно правилу (
293),
которое принимается за основу определения:
-контравариантным тензором ранга 1, определенным на линейном пространстве размерности
![$ n$](img4.png)
, называется
объект
![$ {\mathbf T}(0,1)$](img1229.png)
, который в любом базисе задается
![$ n$](img4.png)
числами, занумерованными верхними индексами -
![$ T^i, i=1,2\dots ,n$](img1230.png)
; в разных базисах эти числа связаны 1-ой матрицей, обратной и транспонированной
к матрице преобразования базисных векторов:
Можно рассмотреть два фиксированных вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
и
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
и в выбранном базисе
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
составить
![$ n^2$](img1220.png)
произведений их координат
При переходе к новому базису контравариантные координаты векторов
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
и
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
будут
изменяться согласно (
308), что для значений
![$ T^{ij}$](img1233.png)
дает правило:
определяя, таким образом, понятие контравариантного тензора ранга 2. В общем случае:
- контравариантным тензором ранга
![$ l$](img302.png)
, определенным на линейном пространстве размерности
![$ n$](img4.png)
,
называется объект
![$ {\mathbf T}(0,l)$](img1235.png)
, который в любом базисе задается
![$ n^l$](img1236.png)
числами, занумерованными
![$ l$](img302.png)
верхними индексами
![$ T^{i^1 i^2\dots i^l}$](img1237.png)
; в разных базисах эти наборы чисел разные, но их
значения связаны
![$ l$](img302.png)
матрицами, обратными и транспонированными к матрице преобразования базисных
векторов