5. Основы тензорного анализа
5.13. Расширенное определение тензора
Рассмотрим линейную скалярную функцию с областью определения из
![$ n$](img4.png)
-мерного векторного пространства,
т. е. любому вектору
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
сопоставим в соответствие число
![$\displaystyle \varphi \equiv\varphi({\mathbf a}),$](img1202.png) |
(297) |
причем
![$\displaystyle \varphi(\alpha{\mathbf a}+\beta{\mathbf b}) = \alpha\varphi({\mathbf a}) + \beta\varphi({\mathbf b}).$](img1203.png) |
(298) |
Так как в выбранном базисе
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
любой вектор определяется своими контравариантными координатами
(
283),то
![$\displaystyle \varphi({\mathbf a})=\varphi(a^i{\mathbf e}_i) = a^i\varphi({\mathbf e}_i).$](img1204.png) |
(299) |
Обозначим для краткости
![$\displaystyle \varphi_i\equiv\varphi({\mathbf e}_i),$](img1205.png) |
(300) |
тогда
![$\displaystyle \varphi({\mathbf a}) = a^i\varphi_i.$](img1206.png) |
(301) |
Теперь выберем в этом же пространстве другой базис
![$ {\mathbf e}'_{i'}$](img1207.png)
. Тогда разложение вектора-аргумента
скалярной функции (
297) изменится
![$ {\mathbf a}=a'^{i'}{\mathbf e}'_{i'}$](img1208.png)
, но значение самой функции
остаетсяпрежним
![$\displaystyle \varphi({\mathbf a})=a'^{i'}\varphi({\mathbf e}'_{i'})=a'^{i'}\varphi_{i'},\qquad \varphi_{i'} = \varphi({\mathbf e}'_{i'}).$](img1209.png) |
(302) |
Так как при переходе от одного базиса к другому контравариантные координаты преобразуются по закону
(
293), то значения функции на базисных векторах
![$ \varphi_{i'}$](img1210.png)
также должны изменяться,
чтобы обеспечить инвариантность значения
![$ \varphi({\mathbf a})$](img1211.png)
:
![$\displaystyle \varphi'_{i'}=\varphi({\mathbf e}'_{i'}) = \varphi(A_{i'}{}^{i}{\mathbf e}_i) = A_{i'}{}^{i}\varphi({\mathbf e}_i)= A_{i'}{}^{i}\varphi_i,$](img1212.png) |
(303) |
т. е. эти величины преобразуются
точно так же, как и векторы базиса. Итак, если на линейном
пространстве задана линейная скалярная функция
![$ \varphi({\mathbf a})$](img1211.png)
, то в каждом базисе возникают
![$ n$](img4.png)
чисел, которые преобразуются по такому же закону, что и векторы соответствующего базиса. Таким образом,
мы приходим к понятию ковариантного тензора ранга 1 (ковариантного вектора).
Определение: ковариантным тензором ранга 1, определенным на линейном пространстве размерности
![$ n$](img4.png)
, называется объект
![$ {\mathbf T}$](img1213.png)
, который в любом базисе задается
![$ n$](img4.png)
числами, занумерованными нижними
индексами
![$ T_i, i=1,2,\dots,n$](img1214.png)
; в разных базисах наборы чисел
![$ T_i$](img1215.png)
различны, но их значения связаны
1-ой матрицей преобразования базисных векторов
![$ {\mathbf e}'_{i'}=A_{i'}{}^{i}{\mathbf e}_i$](img1216.png)
по тому же закону:
![$\displaystyle T'_{i'} = A_{i'}{}^i T_i.$](img1217.png) |
(304) |
Числа
![$ T_i$](img1215.png)
называются
ковариантными координатами тензора
![$ {\mathbf T}$](img1213.png)
в соответствующем базисе.
Термин ковариантный, т. е.
сопреобразующийся, выражает то обстоятельство, что закон преобразования
![$ T_i$](img1215.png)
точно такой же, как и для векторов базиса. Примером ковариантного тензора 1-го ранга служит
линейная функция
![$ \varphi({\mathbf a})$](img1211.png)
; верно и обратное - любой ковариантный тензор 1-го ранга можно
трактовать как линейную функцию.
Можно обобщить понятие ковариантного тензора, увеличив его ранг. Например, рассмотрим скалярную линейную
функцию двух векторных аргументов
![$ f({\mathbf a},{\mathbf b})$](img1218.png)
. Выбрав базис
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
и учитывая линейность функции,
ее можно представить как
![$\displaystyle f({\mathbf a},{\mathbf b}) = f(a^i{\mathbf e}_i,b^j{\mathbf e}_j) = a^ib^j f({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j).$](img1219.png) |
(305) |
Вводя
![$ n^2$](img1220.png)
чисел
![$ f_{ij}=f({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)$](img1221.png)
, можно легко показать, что они преобразуются по закону
![$\displaystyle f'_{i'j'} = A_{i'}{}^{i} A_{j'}{}^{j} f_{ij},$](img1222.png) |
(306) |
который указывает на то, что объект
![$ {\mathbf f}$](img1223.png)
с компонентами
![$ f_{ij}$](img1224.png)
является ковариантным тензором
2-го ранга. В общем случае:
- ковариантным тензором ранга
![$ m$](img254.png)
, определенным на линейном пространстве размерности
![$ n$](img4.png)
, называется
объект
![$ {\mathbf T}(m,0)$](img1225.png)
, который в любом базисе задается
![$ n^m$](img1226.png)
числами, которые удобно нумеровать нижними
![$ m$](img254.png)
индексами
![$ T_{i_1,i_2,\dots,i_m}$](img1227.png)
и которые в разных базисах связаны
![$ m$](img254.png)
матрицами преобразования
базисных векторов по тому же самому закону:
![$\displaystyle T'_{i'_1 i'_2 \dots i'_m} = A_{i'_1}{}^{i_1}A_{i'_2}{}^{i_2}\dots A_{i'_m}{}^{i_m} T_{i_1i_2\dots i_m}\ .$](img1228.png) |
(307) |