Расширенное определение тензора

Рассмотрим линейную скалярную функцию с областью определения из

-мерного векторного пространства, т. е. любому вектору ${\mathbf a}$ сопоставим в соответствие число

Так как в выбранном базисе ${\mathbf e}_i$ любой вектор определяется своими контравариантными координатами (283),то

Обозначим для краткости

Теперь выберем в этом же пространстве другой базис ${\mathbf e}'_{i'}$ . Тогда разложение вектора-аргумента скалярной функции (297) изменится ${\mathbf a}=a'^{i'}{\mathbf e}'_{i'}$ , но значение самой функции остаетсяпрежним

$\displaystyle \varphi({\mathbf a})=a'^{i'}\varphi({\mathbf e}'_{i'})=a'^{i'}\varphi_{i'},\qquad \varphi_{i'} = \varphi({\mathbf e}'_{i'}).$

(302)

Так как при переходе от одного базиса к другому контравариантные координаты преобразуются по закону (293), то значения функции на базисных векторах $\varphi_{i'}$ также должны изменяться, чтобы обеспечить инвариантность значения $\varphi({\mathbf a})$ :

$\displaystyle \varphi'_{i'}=\varphi({\mathbf e}'_{i'}) = \varphi(A_{i'}{}^{i}{\mathbf e}_i) = A_{i'}{}^{i}\varphi({\mathbf e}_i)= A_{i'}{}^{i}\varphi_i,$

(303)

т. е. эти величины преобразуются точно так же, как и векторы базиса. Итак, если на линейном пространстве задана линейная скалярная функция $\varphi({\mathbf a})$ , то в каждом базисе возникают

чисел, которые преобразуются по такому же закону, что и векторы соответствующего базиса. Таким образом, мы приходим к понятию ковариантного тензора ранга 1 (ковариантного вектора).

Определение: ковариантным тензором ранга 1, определенным на линейном пространстве размерности

, называется объект ${\mathbf T}$ , который в любом базисе задается

числами, занумерованными нижними индексами $T_i, i=1,2,\dots,n$ ; в разных базисах наборы чисел

различны, но их значения связаны 1-ой матрицей преобразования базисных векторов ${\mathbf e}'_{i'}=A_{i'}{}^{i}{\mathbf e}_i$ по тому же закону:

Числа

называются ковариантными координатами тензора ${\mathbf T}$ в соответствующем базисе.

Термин ковариантный, т. е. сопреобразующийся, выражает то обстоятельство, что закон преобразования

точно такой же, как и для векторов базиса. Примером ковариантного тензора 1-го ранга служит линейная функция $\varphi({\mathbf a})$ ; верно и обратное - любой ковариантный тензор 1-го ранга можно трактовать как линейную функцию.

Можно обобщить понятие ковариантного тензора, увеличив его ранг. Например, рассмотрим скалярную линейную функцию двух векторных аргументов $f({\mathbf a},{\mathbf b})$ . Выбрав базис ${\mathbf e}_i$ и учитывая линейность функции, ее можно представить как