5. Основы тензорного анализа
5.12. Обобщение понятия вектора ![Расширенное определение тензора](ARROWS/right_small.gif)
Рассмотрим
![$ n$](img4.png)
-мерное пространство, отказываясь от некоторых предположений, существенных
для векторов, как направленных отрезков в 3-х мерном пространстве. Будем считать, что дано
множество объектов, обозначаемых как
![$ {\mathbf a}, {\mathbf b}, {\mathbf c},\dots,$](img1172.png)
на котором определены
две операции: сложение -
![$ {\mathbf a}+{\mathbf b}={\mathbf c}$](img1173.png)
и умножение на число (в общем случае комплексное)
-
![$ c\cdot{\mathbf a}={\mathbf b}$](img1174.png)
, удовлетворяющие
8 аксиомам линейного пространства.
![$ n$](img4.png)
-мерность означает,
что на этом множестве существуют
![$ n$](img4.png)
линейно независимых векторов
![$ {\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2,\dots,{\mathbf e}_n$](img1175.png)
,
которые образуют базис, а любые
![$ n+1$](img108.png)
векторов будут линейно зависимы. В этом случае любой вектор
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации базисных векторов
![$\displaystyle {\mathbf a} = a^1{\mathbf e}_1 + a^2{\mathbf e}_2+ \dots + a^n{\mathbf e}_n.$](img1176.png) |
(282) |
Индексы, нумерующие базисные векторы, т. е.
![$ a_i, i=1,\dots,n$](img1177.png)
будем писать сверху
и называть
контравариантными, в отличие от
ковариантных индексов, которые принято писать
снизу. Как уже отмечалось ранее, многократные суммы в тензорной алгебре принято записывать в сокращенной
форме, используя правило Эйнштейна. Так как в выражении типа (
282) используется два типа индексов,
то упрощенное правило Эйнштейна должно быть расширено и теперь будем считать
суммируемыми
такие пары индексов, в которых один - верхний, а второй - обязательно нижний (или наоборот). Тогда
(
282)можно переписать в форме
![$\displaystyle {\mathbf a}=\sum_{i=1}^{n} a^i {\mathbf e}_i \equiv = a^i {\mathbf e}_i.$](img1178.png) |
(283) |
Набор коэффициентов
![$ a^i$](img1179.png)
однозначно определяет любой вектор
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
в выбранном базисе и называется
контравариантными координатами вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
в базисе
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
. Множество наборов контравариантных
координат само по себе образует линейное
![$ n$](img4.png)
-мерное пространство, поскольку для таких составных объектов
определены операции сложения и умножения, отвечающие 8 аксиомам, и это пространство является изоморфным
исходному. Таким образом, координаты
![$ a^i$](img1179.png)
сами являются контравариантными векторами, в отличие от
ковариантного
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
. Заметим, что линейные пространства ко- и контравариантных векторов - это разные
пространства с элементами разной природы.
Рассмотрим в исходном пространстве другой набор базисных векторов
![$ {\mathbf e}'_i, i=1,\dots,n$](img1180.png)
. Так как
каждый из
![$ {\mathbf e}'_i$](img1181.png)
является
![$ n+1$](img108.png)
вектором в отношении набора
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
, то в силу линейной
зависимости набора
![$ ({\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2,\dots,{\mathbf e}_n,{\mathbf e}'_i)$](img1182.png)
всегда можно выразить
![$ {\mathbf e}'_i$](img1181.png)
в виде линейной комбинации
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
:
![$\displaystyle {\mathbf e}'_i = A_i{}^k {\mathbf e}_k$](img1183.png) |
(284) |
или в матричной форме
![$\displaystyle \left( \begin{array}{c} {\mathbf e}'_1 \\ {\mathbf e}'_2 \\ \dots...
...athbf e}_1 \\ {\mathbf e}_2 \\ \dots \\ {\mathbf e}_n \\ \end{array} \right)\ .$](img1184.png) |
(285) |
Матрица
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
связывает два базисных набора и аналогична матрице ортогональных преобразований,
но теперь, согласно договоренности о правиле суммирования (
283), матричные элементы
необходимо нумеровать ко- и контравариантными индексами. Например, единичная матрица будет иметь
элементы:
![$\displaystyle \delta_i{}^j = \left\{\begin{array}{l} 1,\qquad i=j \\ [1em] 0,\qquad i\ne j, \\ \end{array} \right.$](img1185.png) |
(286) |
что определяет
![$ \delta $](img1.png)
-символ Кронекера. Так как новые векторы (
284) линейно независимы,
то строки матрицы (
285) также линейно независимы и определитель матрицы (
285)
должен быть отличным от нуля:
![$\displaystyle \det{\mathbf A} \ne 0,$](img1186.png) |
(287) |
что эквивалентно условию существования для матрицы
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
обратной матрицы
![$ {\mathbf A}^{-1}$](img1187.png)
или![$\displaystyle \quad A_{i'}{}^i(A^{-1})_i^{j'} = ({\mathbf A}\cdot{\mathbf A^{-1}})_{i'}{}^{j'} = \delta_{i'}{}^{j'}$](img1189.png) |
(288) |
(
288) является единственным условием, которое накладывается на преобразование векторов.
В остальном коэффициенты
![$ A_i{}^j$](img1190.png)
произвольны.
Если, наоборот, выразить векторы
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
через
![$ {\mathbf e}'_i$](img1181.png)
как
![$\displaystyle {\mathbf e}_i = B_i{}^{i'} {\mathbf e}'_{i'},$](img1191.png) |
(289) |
то, используя (
284), получим для матрицы
![$ {\mathbf B}$](img210.png)
:
![$\displaystyle {\mathbf e}_i = B_i{}^{i'}{\mathbf e}'_{i'} = B_i{}^{i'} A_{i'}{}^{j}{\mathbf e}_j = {\mathbf e}_i = \delta_{i}{}^{j}{\mathbf e}_j$](img1192.png) |
(290) |
т. е.
При переходе к новому базису
![$ {\mathbf e}'_i$](img1181.png)
контравариантные координаты вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
изменяются:
![$\displaystyle {\mathbf a}=a^i{\mathbf e}_i = a'^{i'}{\mathbf e}'_{i'}$](img1194.png) |
(291) |
и, используя связь между двумя базисами (
284),
![$\displaystyle {\mathbf a}=a^i{\mathbf e}_i = a^i(A^{-1})_i{}^{i'}{\mathbf e}'_{i'}$](img1195.png) |
(292) |
откуда
![$\displaystyle a'^{i'} = (A^{-1})_i{}^{i'} a^i.$](img1196.png) |
(293) |
Для того, чтобы записать выражение (
293) в матричном виде, необходимо учесть, что при
использовании "ступенчатой" индексации верхний правый индекс в выражении
![$ A_i{}^j$](img1190.png)
по смыслу
правила матричного умножения должен рассматриваться как номер столбца и тогда аналог формулы (
285),
но для преобразования координат вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
, принимает вид:
![$\displaystyle \left( \begin{array}{c} a'^1 \\ a'^2 \\ \dots \\ a'^n \\ \end{arr...
...t) \left( \begin{array}{c} a^1 \\ a^2 \\ \dots \\ a^n \\ \end{array} \right)\ .$](img1197.png) |
(294) |
Аналогично можно получить и обратное преобразование контравариантных координат
![$\displaystyle a^i = A_{i'}{}^i a'^{i'}\ .$](img1198.png) |
(295) |
Весьма важно сравнить формулы преобразования базисных ковариантных векторов (
284)
и (
294)
![\begin{displaymath}\begin{array}{l} {\mathbf e}'_i = A_i{}^k {\mathbf e}_k \\ a'^i = (a^{-1})_{k}{}^i a^k. \\ \end{array}\end{displaymath}](img1199.png) |
(296) |
Видно, что матрицы этих преобразований различны, а именно матрица преобразования координат
является
транспонированной обратной по отношению к матрице преобразования самих векторов -
такие преобразования называются также
контрагредиентными преобразованиями. Отсюда и происходит
название
контравариантные координаты, т. е.
противопреобразующиеся по сравнению с
преобразованиями базисных векторов. Отметим, что ортонормированные базисные векторы как направленные
отрезки, рассматриваемые в Главе 1, преобразуются с помощью ортогональной матрицы, для которой
![$ {\mathbf A}^{T}={\mathbf A}^{-1}$](img1200.png)
и соответственно
![$ ({\mathbf A}^{-1})^T = {\mathbf A}$](img1201.png)
, т. е. контрагредиентное
преобразование совпадает с исходным. В этом случае нет различий в способах преобразования
базисных векторов и координат произвольных векторов и необходимости различать типы величин с
помощью разных типов индексов, т. е. ко- и контравариантных, не возникало.