Тензорная алгебра в евклидовом пространстве

Характерной чертой евклидового пространства является возможность расширить число алгебраических действий с тензорами за счет определения так называемых операций поднятия и опускания индексов, что означает изменение характера тензоров. Пусть в евклидовом пространстве задан контравариантный тензор 1-го ранга

. Рассмотрим набор величин $g_{ij}a^j$ . Согласно правилам тензорной алгебры, новый набор будет представлять координаты ковариантного тензора первого ранга, для обозначения которого имеет смысл сохранить тот же символ

Рассмотрим смысл нового ковариантного тензора и то, как он соотносится с вектором ${\mathbf a}$ . Учитывая определение метрического тензора (342), из (348) легко получить

т. е.

есть скалярное произведение вектора ${\mathbf a}$ на базисный вектор ${\mathbf e}_i$ (проекция). Эти скалярные произведения называются ковариантными координатами вектора ${\mathbf a}$ .

Обращение уравнения (348) определяет операцию поднятия индексов:

Операции поднятия и опускания индексов взаимно обратны, т. е. в результате применения этой последовательности действий к тензору он не изменяется:

По той же схеме (348) или (350) можно поднимать или опускать индексы и у тензоров высших рангов. В этом случае необходимо ввести общий (ступенчатый) способ записи индексов. Например, если третий индекс координаты тензора 4-го ранга является контравариантным, а остальные ковариантные, то это можно явно указать, отмечая пустые места точками $T_{ij{\bf\cdot}l}^{\hspace{0.4em}k}$ , либо просто оставляя место для движения индекса:

Важный пример дает выражение (347), которое показывает, что поднятие (или опускание) индекса у метрического тензора переводит его в единичный тензор.

В заключение этого раздела отметим, что вводимые новые определения могут быть сформулированы лишь в евклидовом пространстве и не имеют никакого смысла в аффинном пространстве без метрики, где поднятие или опускание индексов невозможно. Это же относится и к понятию ковариантных координат вектора.