5. Основы тензорного анализа
5.18. Тензорная алгебра в евклидовом пространстве
Характерной чертой евклидового пространства является возможность расширить число алгебраических
действий с тензорами за счет определения так называемых операций
поднятия и опускания индексов,
что означает изменение характера тензоров. Пусть в евклидовом пространстве задан контравариантный
тензор 1-го ранга
![$ a^i$](img1179.png)
. Рассмотрим набор величин
![$ g_{ij}a^j$](img1329.png)
. Согласно правилам тензорной алгебры,
новый набор будет представлять координаты ковариантного тензора первого ранга, для обозначения которого
имеет смысл сохранить тот же символ
![$ a$](img1330.png)
:
Рассмотрим смысл нового ковариантного тензора и то, как он соотносится с вектором
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
. Учитывая
определение метрического тензора (
342), из (
348) легко получить
т. е.
![$ a_i$](img684.png)
есть скалярное произведение вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
на базисный вектор
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
(проекция).
Эти скалярные произведения называются ковариантными координатами вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
.
Обращение уравнения (
348) определяет операцию поднятия индексов:
Операции поднятия и опускания индексов взаимно обратны, т. е. в результате применения этой
последовательности действий к тензору он не изменяется:
По той же схеме (
348) или (
350) можно поднимать или опускать индексы и у тензоров высших
рангов. В этом случае необходимо ввести общий (ступенчатый) способ записи индексов. Например, если
третий индекс координаты тензора 4-го ранга является контравариантным, а остальные ковариантные, то это можно
явно указать, отмечая пустые места точками
![$ T_{ij{\bf\cdot}l}^{\hspace{0.4em}k}$](img1335.png)
, либо просто оставляя место
для движения индекса:
Важный пример дает выражение (
347), которое показывает, что поднятие (или опускание) индекса
у метрического тензора переводит его в единичный тензор.
В заключение этого раздела отметим, что вводимые новые определения могут быть сформулированы лишь в
евклидовом пространстве и не имеют никакого смысла в аффинном пространстве без метрики, где поднятие
или опускание индексов невозможно. Это же относится и к понятию ковариантных координат вектора.