5. Основы тензорного анализа
5.19. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
В случае евклидового пространства, в отличие от линейного аффинного, не все базисы равносильны по своим
геометрическим свойствам. Среди них можно выделить наиболее простые - так называемые ортонормированные,
которые в случае обычного пространства соответствуют базису прямоугольной декартовой системы координат.
Можно показать, что в
![$ n$](img4.png)
-мерном комплексном пространстве
![$ {\mathbf R}^+_n$](img1313.png)
и в вещественном собственно
евклидовом пространстве всегда можно выбрать базисные векторы
![$ {\mathbf e}_i$](img911.png)
так, чтобы они удовлетворяли
следующим условиям:
В этом случае, как видно, метрический тензор совпадает с единичным и на таких базисах теряется
различие между ковариантными и контравариантными координатами и соответственно индексами, которые
их нумеруют:
а все геометрические соотношения будут точно такими же, как и в обычном 3-х мерном пространстве, только
лишь число координат будет равно
![$ n$](img4.png)
.
Иная ситуация наблюдается в вещественных псевдоевклидовых пространствах, для которых, как уже отмечалось,
![$ {\mathbf x}^2$](img1315.png)
может быть как положительным, так и отрицательным. В таких пространствах выбрать обычным
образом ортонормированный базис нельзя, но можно выбрать
![$ n$](img4.png)
ортогональных между собой векторов
![$ ({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j,i\ne j)$](img1339.png)
, таких, что часть из них (например, первые
![$ k$](img158.png)
) будут иметь квадрат длины,
равный -1 (их называют мнимоединичными), а остальные
![$ n-k$](img1340.png)
соответственно - (
![$ +1$](img1341.png)
). Количество мнимоединичных
векторов не зависит от выбора конкретного базиса, а определяется геометрической структурой псевдоевклидового
пространства. Число
![$ k$](img158.png)
таких мнимоединичных векторов называется
индексом (сигнатурой) пространства.
![$ k$](img158.png)
может принимать одно из значений от 1 до
![$ n$](img4.png)
и поэтому для заданного
![$ n$](img4.png)
существует
![$ n$](img4.png)
различных
псевдоевклидовых пространств с различной сигнатурой.
В
![$ n$](img4.png)
-мерном псевдоевклидовом пространстве индекса
![$ k$](img158.png)
метрический тензор имеет структуру:
В силу структуры метрического тензора (
355) различия между контравариантными и ковариантными
координатами или векторами хотя и не исчезают, но становятся незначительными: