Физическое определение тензора

Понятие тензора наиболее естественно возникает при рассмотрении физических задач, связанных с использованием величин, определяющих собственные характеристики исследуемых объектов. Интуитивно понятно, что эти собственные или внутренние характеристики должны обладать свойством инвариантности и не иметь зависимости от способа их применения, который определяется выбором системы координат. Физические скаляры, такие как масса, заряд и другие, отвечают таким требованиям с очевидностью. Простейшие кинематические величины (скорость, ускорение) имеют векторный характер и относительно системы координат задаются тройкой чисел, которые при вращении осей изменяются по правилам (36) и (37). Инвариантность в этом случае выражается в том, что, несмотря на изменение координат, сам вектор, как объект-стрелка, остается совершенно неизменным и самостоятельным, что позволяет построить "графические" правила (треугольника, параллелограмма в 1-й гл.) для выполнения алгебраических действий с векторами, а также непротиворечивый символический способ выполнения дифференциальных операций с векторными полями (Гл.3). Таким образом, использование векторного способа записи для физических величин и действий над ними, что было сделано Дж. У. Гибсом, позволяет выразить те или иные закономерности в форме, которая полностью соответствует фундаментальному физическому закону - принципу относительности.

Используя свойство инвариантности, можно построить величины, которые, аналогично скалярам и векторам можно связать с собственными характеристиками физических объектов. В качестве примера вычислим кинетическую энергию вращающегося тела произвольной формы (рис. 45). Пусть тело закреплено в центре инерции и вращается с угловой скоростью ${\boldsymbol \omega}$ . Тогда, если вещество распределено по объему с плотностью $\rho({\mathbf r})\equiv\rho(x,y,z)$ , то

Раскрывая квадрат векторного произведения под знаком интеграла и записывая результат с использованием индексных обозначений и правила Эйнштейна (Гл.1), получим

что с использованием свойств $\delta$ -символа можно переписать как

Тогда, после подстановки (244) в (243), выражение для кинетической энергии принимает вид

Обозначим величину в квадратных скобках как $I_{ik}$

тогда (245) можно окончательно представить в форме

Так как величина кинетической энергии определяется, помимо кинематических характеристик, роль которых в данном случе играет угловая скорость, инертными свойствами самого тела, то из (247) следует, что свойства "вращательной инерции" связаны с величинами $I_{ik}$ . Если все значения $I_{ik}$ записать в виде матрицы

то (247) можно записать как двойное скалярное произведение

Чтобы выяснить смысл величин $I_{ik}$ , рассмотрим частный случай, когда $\rho({\mathbf r})=Const$ , а тело имеет форму шара радиуса

. Тогда матрица $\hat{{\mathbf I}}$ будет иметь вид:

где $M=\rho\displaystyle{\frac{4}{3}}\pi R^3$ - масса шара. Так как матрица $\hat{{\mathbf I}}$ пропорциональна единичной матрице, то присутствие индексов в обозначении $I_{ik}$ является в этом случае излишним. Действительно, кинетическая энергия вращения шара, закрепленного в центре, после подстановки (250) в (247) принимает вид

Величина $I_{сф}=\displaystyle{\frac{2}{5}}MR^2$ называется моментом инерции шара и является характеристикой инерции однородного тела сферической формы при вращении. Следует отметить, что в случае шара выражение для кинетической энергии с очевидностью является инвариантым, поскольку выражается только через скалярные величины. Для того, чтобы придать какой-либо физический смысл величинам $I_{ik}$ в общем случае, необходимо выяснить какие изменения произойдут с набором этих чисел, в другой системе координат. Вычислим $I_{ik}$ в системе координат

, развернутой относительно исходной системы

Новые переменные

в (252) связаны c

соотношением (37)

Так как $\delta_{ik}=\alpha_{im}\alpha_{km}=\alpha_{im}\alpha_{kn}\delta_{mn}$ согласно (30), а значение якобиана перехода замены переменных (253)

det $(\alpha_{mn})=1$ , то

где также использована замена для формулы $\rho'(x',y',z')\rightarrow\rho(x,y,z)$ . Как видно, значение интеграла в точности совпадает с $I_{mn}$ согласно (246) и это позволяет выразить $I'_{ik}$ как

Закон преобразования для величин $I_{ik}$ позволяет получить интересное соотношение. Действительно, вычислим значение величины $I'_{ik}\omega'_i\omega'_k$ . Тогда

а так как $\alpha_{im}\omega'_i$ в соответствии с (30) выражает значения координат вектора ${\boldsymbol \omega}$ в системе

,то

Полученный результат имеет несколько важных особенностей:

выражения для значения кинетической энергии в различных системах координат совершенно одинаковы по форме;
отмеченная инвариантость обеспечивается билинейным законом преобразования (255) для $I_{ik}$ .

Эти свойства величин $I_{ik}$ позволяют связать их с собственной характеристикой тела, которая количественно выражает свойство инерции при вращательном движении. Вся совокупность $I_{ik}$ является компонентами (координатами) одной величины, которая в данном случае называется тензором инерции, при этом формула (248) является одним из способов записи тензора или его матричным представлением.