Преобразование координат векторов

$\displaystyle a_k {\mathbf e}_k = a'_k \alpha_{km} {\mathbf e}_m$

и, заменяя далее индексы в правой части $k\leftrightarrow m$ , с учетом линейной независимости ортов, получим:

$\displaystyle a_m = \alpha_{km} a'_k.$

(36)

Аналогично для обратного преобразования

$\displaystyle a'_m = \alpha_{mk} a_k.$

(37)

Из сравнения (36), (37) с (28), (29) следует, что координаты векторов при переходе от одного декартового базиса к другому преобразуются так же, как и орты. Поэтому векторные равенства, записанные через координаты, справдливы в любом декартовом базисе: если ${\mathbf a}={\mathbf b}$ и в одном базисе

, то в другом базисе также имеет место

. Следует отметить, что в некоторых случаях это утверждение не будет справделивым. Для примера рассмотрим вектор, который является результатом вычисления векторного произведения: ${\mathbf c}=[{\mathbf a},{\mathbf b}]$ . Тогда

$\displaystyle c_i=\varepsilon_{ijk} a_j b_k\ .$

(38)

Если ${\mathbf c}$ был бы истинным вектором, то это равенство должно было бы иметь такой же вид и в другом базисе

$\displaystyle c'_i=\varepsilon_{ijk} a'_j b'_k.$

(39)

Проверим это, изменив в (38) координаты всех векторов на новые согласно (36):

$\displaystyle \alpha_{mi}c'_m=\varepsilon_{ijk}\alpha_{nj}a'_n \alpha_{lk}b'_l.$

(40)

Умножим обе части (40) на $\alpha_{pi}$ и просуммируем по

$\displaystyle \alpha_{pi}\alpha_{mi}c'_m=\alpha_{pi}\alpha_{nj}\alpha_{lk}\varepsilon_{ijk} a'_n b'_l.$

(41)

Используя соотношение ортогональности (30), получим далее

$\displaystyle c'_p=\alpha_{pi}\alpha_{nj}\alpha_{lk}\varepsilon_{ijk}a'_n b'_l\ .$

Покажем,что

$\displaystyle \alpha_{pi}\alpha_{nj}\alpha_{lk}\varepsilon_{ijk} = \Delta\varepsilon_{pnl},$

(42)

где $\Delta=\det{\alpha_{ij}}$ - определитель матрицы преобразования базисов. Действительно, умножим обе части (42) на $\alpha_{p1}\alpha_{n2}\alpha_{l3}$ и просуммируем по индексам

. Тогда в левой части с учетом (36) получим

$\displaystyle \alpha_{p1}\alpha_{n2}\alpha_{l3}\alpha_{pi}\alpha_{lk}\varepsilo... ...= \delta_{i1}\delta_{j2}\delta_{k3}\varepsilon_{ijk} = \varepsilon_{123} = 1,$

а в правой части с учетом (20) и (33) -

$\displaystyle \alpha_{p1}\alpha_{n2}\alpha_{l3}\Delta\varepsilon_{pnl} = \Delta^2 = 1.$

Таким образом, в отличие от (39), получаем правило преобразования координат вектора, который является результатом векторного произведения

$\displaystyle c'_i = \Delta\varepsilon_{ijk}a'_j b'_k.$

(43)

Значит векторное произведение ведет себя как вектор только при преобразовании базиса первого рода ( $\Delta=1$ ), т. е. только при преобразовании правого (левого) базиса в правый (левый). При преобразовании второго рода, т. е. при переходе от правого декартового базиса к левому и наоборот, согласно (43), появляется знак минус в формуле, связывающей координаты векторов, входящих в векторное произведение. Поэтому векторное произведение не является истинным вектором и называется псевдовектором.

Аналогично ведет себя относительно преобразования координат и смешанное произведение трех векторов, которое поэтому не является истинным скаляром и называется псевдоскаляром.


			Содержание