1. Основные сведения из векторной алгебры
1.11. Преобразование координат векторов
Пусть заданы два декартовых базиса
![$ {\mathbf e}_k$](img155.png)
и
![$ {\mathbf e}'_k$](img251.png)
, связанных между собой соотношениями
(
28) и (
29). Рассмотрим вектор
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
. Сам по себе он от базиса не зависит,
но в базисе
![$ {\mathbf e}_k$](img155.png)
он задается координатами
![$ a_k$](img233.png)
:
![$ {\mathbf a}={\mathbf e}_ka_k$](img232.png)
, а в базисе
![$ a'_k$](img282.png)
:
![$ {\mathbf a}={\mathbf e}'_k a'_k$](img283.png)
. При этом, естественно:
и, заменяя далее индексы в правой части
![$ k\leftrightarrow m$](img286.png)
, с учетом линейной независимости
ортов, получим:
![$\displaystyle a_m = \alpha_{km} a'_k.$](img287.png) |
(36) |
Аналогично для обратного преобразования
![$\displaystyle a'_m = \alpha_{mk} a_k.$](img288.png) |
(37) |
Из сравнения (
36), (
37) с (
28), (
29) следует, что
координаты векторов при переходе от одного декартового базиса к другому преобразуются так же,
как и орты. Поэтому векторные равенства, записанные через координаты, справдливы в любом декартовом
базисе: если
![$ {\mathbf a}={\mathbf b}$](img289.png)
и в одном базисе
![$ a_i=b_i$](img290.png)
, то в другом базисе также имеет место
![$ a'_i=b'_i$](img291.png)
. Следует отметить, что в некоторых случаях это утверждение не будет справделивым.
Для примера рассмотрим вектор, который является результатом вычисления векторного произведения:
![$ {\mathbf c}=[{\mathbf a},{\mathbf b}]$](img77.png)
. Тогда
![$\displaystyle c_i=\varepsilon_{ijk} a_j b_k\ .$](img292.png) |
(38) |
Если
![$ {\mathbf c}$](img76.png)
был бы истинным вектором, то это равенство должно было бы иметь такой же
вид и в другом базисе
![$\displaystyle c'_i=\varepsilon_{ijk} a'_j b'_k.$](img293.png) |
(39) |
Проверим это, изменив в (
38) координаты всех векторов на новые согласно (
36):
![$\displaystyle \alpha_{mi}c'_m=\varepsilon_{ijk}\alpha_{nj}a'_n \alpha_{lk}b'_l.$](img294.png) |
(40) |
Умножим обе части (
40) на
![$ \alpha_{pi}$](img295.png)
и просуммируем по
![$ i$](img174.png)
:
![$\displaystyle \alpha_{pi}\alpha_{mi}c'_m=\alpha_{pi}\alpha_{nj}\alpha_{lk}\varepsilon_{ijk} a'_n b'_l.$](img296.png) |
(41) |
Используя соотношение ортогональности (
30), получим далее
Покажем,что
![$\displaystyle \alpha_{pi}\alpha_{nj}\alpha_{lk}\varepsilon_{ijk} = \Delta\varepsilon_{pnl},$](img298.png) |
(42) |
где
![$ \Delta=\det{\alpha_{ij}}$](img299.png)
- определитель матрицы преобразования базисов. Действительно,
умножим обе части (
42) на
![$ \alpha_{p1}\alpha_{n2}\alpha_{l3}$](img300.png)
и просуммируем по
индексам
![$ p$](img301.png)
,
![$ n$](img4.png)
,
![$ l$](img302.png)
. Тогда в левой части с учетом (
36) получим
а в правой части с учетом (
20) и (
33) -
Таким образом, в отличие от (
39), получаем правило преобразования координат
вектора, который является результатом векторного произведения
![$\displaystyle c'_i = \Delta\varepsilon_{ijk}a'_j b'_k.$](img305.png) |
(43) |
Значит векторное произведение ведет себя как вектор только при преобразовании базиса
первого рода (
![$ \Delta=1$](img306.png)
), т. е. только при преобразовании правого (левого) базиса в
правый (левый). При преобразовании второго рода, т. е. при переходе от правого декартового
базиса к левому и наоборот, согласно (
43), появляется знак минус в формуле,
связывающей координаты векторов, входящих в векторное произведение. Поэтому векторное
произведение не является истинным вектором и называется
псевдовектором.
Аналогично ведет себя относительно преобразования координат и смешанное произведение
трех векторов, которое поэтому не является истинным скаляром и называется псевдоскаляром.