1. Основные сведения из векторной алгебры
I. Разложить вектор
![$ {\mathbf s}={\mathbf a}+{\mathbf b}+{\mathbf c}$](img307.png)
по трем некомпланарным векторам
![$ {\mathbf m}={\mathbf a}+{\mathbf b}-2{\mathbf c}$](img308.png)
,
![$ {\mathbf n}={\mathbf a}-{\mathbf b}$](img309.png)
и
![$ {\mathbf p}=2{\mathbf b}+3{\mathbf c}$](img310.png)
.
(Ответ)![](img311.png)
II. Вычислить скалярное произведение
![$ ({\mathbf a},{\mathbf b})$](img58.png)
, если
![$ {\mathbf a}=3{\mathbf p}-2{\mathbf q}$](img312.png)
и
![$ {\mathbf b}={\mathbf p}+4{\mathbf q}$](img313.png)
, где
![$ {\mathbf p}$](img314.png)
и
![$ {\mathbf q}$](img315.png)
- единичные, взаимно перпендикулярные
векторы.
(Ответ)![](img316.png)
III. Найти числовое значение скаляра
![$ 3m-2({\mathbf m},{\mathbf n})+4n^2$](img317.png)
, если
![$ \vert{\mathbf m}\vert=1/3$](img318.png)
,
![$ \vert{\mathbf n}\vert=6$](img319.png)
и
![$ (\hat{{\mathbf m},{\mathbf n}})=\pi/3$](img320.png)
.
(Ответ)(143)
IV. Найти длину вектора
![$ {\mathbf a}=3{\mathbf m}-4{\mathbf n}$](img321.png)
, если
![$ {\mathbf m}$](img322.png)
и
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
-
взаимноперпендикулярные, единичные векторы.
V. К одной точке приложены две силы
![$ {\mathbf P}$](img324.png)
и
![$ {\mathbf Q}$](img325.png)
, действующие под углом
![$ 120^o$](img326.png)
,
причем
![$ \vert{\mathbf P}\vert=7H$](img327.png)
,
![$ \vert{\mathbf Q}\vert=4H$](img328.png)
. Найти величину равнодействующей силы
![$ {\mathbf R}$](img329.png)
.
(Ответ)
VI. Проверить, что векторы
![$ {\mathbf p}={\mathbf a}({\mathbf b},{\mathbf c})-{\mathbf b}({\mathbf a},{\mathbf c})$](img331.png)
и
![$ {\mathbf c}$](img76.png)
перпендикулярны друг другу.
VII. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
![$ {\mathbf P}=2{\mathbf i}+3{\mathbf j}$](img332.png)
и
![$ {\mathbf Q}={\mathbf i}-4{\mathbf j}$](img333.png)
.
(Ответ)(11)
VIII. Доказать, что смешанное произведение векторов, из которых два коллинеарны, равно нулю.
IX. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
![$ {\mathbf P}={\mathbf A}+{\mathbf B}+{\mathbf C}$](img334.png)
,
![$ {\mathbf Q}={\mathbf A}+{\mathbf B}-{\mathbf C}$](img335.png)
,
![$ {\mathbf R}={\mathbf A}-{\mathbf B}+{\mathbf C}$](img336.png)
.
(Ответ)
X. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
![$ {\mathbf P}=(3,1,-2)$](img338.png)
,
![$ {\mathbf Q}=(-4,0,3)$](img339.png)
,
![$ {\mathbf R}=(1,5,-1)$](img340.png)
.
(Ответ)(V=6)
XI. Записать матрицу преобразования ортов системы координат XYZ к системе X'Y'Z', если она получается
с помощью поворота системы координат XYZ вокруг оси Z на угол
![$ \pi/2$](img342.png)
и проверить ее ортогональность.
(Ответ)
XII. Относительно системы координат XYZ вектор
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
имеет координаты
![$ (1,2,3)$](img344.png)
. Найти координаты
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
в системе X'Y'Z' (задача XI).
(Ответ)(2, -1, 3)