Преобразование ортов декартовых базисов

Как уже отмечалось выше, в линейном пространстве можно выбрать сколь угодно много базисов. Наиболее удобный для работы с векторами - это декартов базис, но и он определяется неоднозначно. В случае работы со свободными векторами, их можно привести к общему началу. Но и в этом случае можно выбрать сколь угодно много ортонормированных троек векторов, развернутых одна относительно другой.

Пусть даны два декартовых базиса ${\mathbf e}_k$ и ${\mathbf e}'_k$ . Найдем связь между ортами этих базисов. Для этого разложим орты базиса ${\mathbf e}'_k$ по базису ${\mathbf e}_k$ и наоборот:

Коэффициенты разложения перенумерованы с помощью двух индексов, один из которых свободный (

), второй - индекс суммирования (

). Равенство (20) называется прямым преобразованием ортов, а (21) - обратным. Если подставить (21) в (20), соответственно заменяя индекс суммирования, то можно получить:

и, сравнивая коэффициенты прsи одинаковых ортах в левой и правой частях (22), приходим к выводу:

Так связаны между собой коэффициенты прямого и обратного преобразований ортов. Далее, умножим скалярно обе части (20) на вектор ${\mathbf e}_l$ , а (21) - на ${\mathbf e}'_l$ . Тогда

Заменим индексы $k\leftrightarrow l$ , тогда:

и, сравнивая с (25), получим связь между коэффициентами прямого и обратного преобразований декартовых ортов:

Используя (24), соотношения (20) и (21), можно переписать в виде:

а соотношение (23) в виде

Соотношения (28) и (29) определяют так называемое линейное ортогональное преобразование декартового базиса, а коэффициенты этого преобразования образуют ортогональную матрицу, определяемую условием (30). В матричной форме, т. е. с использованием правила умножения "строка на столбец" это соотношение можно переписать в виде:

где ${\mathbf A}_{ij}=\alpha_{ij}$ - матрица ортогонального преобразования, ${\mathbf A}^T$ - транспонированная матрица, ${\mathbf E}$ - единичная матрица: ${\mathbf E}_{ij}=\delta_{ij}$ .

Из (30) следует, что сумма квадратов матричных элементов для любой строки матрицы ортогонального преобразования равна единице, а сумма попарных произведений матричных элементов двух разных строк равна нулю. Легко показать, что аналогичные соотношения выполняются и для столбцов матрицы ортогонального преобразования. Используя (24), можно записать матрицу ортогонального преобразования декартовых ортов в явном виде:

$\displaystyle {\mathbf A} \equiv (\alpha_{ij}) = \left( \begin{array}{ccc} \cos... ...athbf k},{\mathbf j}') & \cos({\mathbf k},{\mathbf k}') \\ \end{array} \right),$

(32)

где $\cos({\mathbf e}_k,{\mathbf e}'_l)$ - косинус угла между соответствующими ортами двух декартовых базисов. Так как $\det{\mathbf A}^T = \det{\mathbf A}$ , а $\det{\mathbf E}=1$ , то из (30) следует, что

т. е. определитель матрицы ортогонального преобразования может быть равен только плюс или минус единице.

Ортогональные преобразования, для которых $\det{\mathbf A}=+1$ , называются ортогональными преобразованиями первого рода. Можно показать, что всем поворотам систем координат соответствуют преобразования первого рода. Иными словами, два декартовых базиса, связанных друг с другом ортогональным преобразованием первого рода, получаются один из другого путем непрерывного поворота всех ортов одновременно.

Ортогональные преобразования, для которых $\det{\mathbf A}=-1$ , называются ортогональными преобразованиями второго рода. Примером такого преобразованя может служить инверсия ${\mathbf I}$ , которая меняет направления всех векторов на противоположные, а правый декартов базис переводит в левый и наоборот. Перейти от правого базиса к левому с помощью непрерывного поворота невозможно. Матрица преобразования инверсии равна:

$\displaystyle {\mathbf I} = \left(\hspace{-0.3em} \begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ [0.5em] 0 & -1 & 0 \\ [0.5em] 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right)$

(34)

и в сокращенной записи $I_{ij}=\delta_{ij}$ . Можно также показать, что любое преобразование второго рода представимо как последовательное действие (произведение) инверсии и преобразования первого рода. Поэтому преобразование второго рода, как уже отмечено ниже, переводит правый базис в левый.