1. Основные сведения из векторной алгебры

Эпсилон-символ Леви-Чивиты 1.9. Координатное представление векторов. Преобразование ортов декартовых базисов


      Ранее было показано, что если задан определенный, например, декартовый базис $ {\mathbf e}_k$, то любой вектор $ {\mathbf a}$ представим в виде линейной комбинации базисных векторов: $ {\mathbf a}={\mathbf e}_ka_k$. Но так как базис $ {\mathbf e}_k$ фиксирован, то различные векторы будут различаться своими координатами $ a_k$, т. е. тройка координат полностью определяет вектор в заданном базисе. Покажем, что и любые операции с векторами задаются действиями над координатами векторов.

      1. При сложении векторов координаты складываются:
$\displaystyle {\mathbf c}={\mathbf a}+{\mathbf b} \qquad \Longrightarrow\qquad c_k=a_k+b_k. $
Действительно,
$\displaystyle {\mathbf a}+{\mathbf b}={\mathbf e}_ka_k+{\mathbf e}_k b_k = {\mathbf e}_k(a_k+b_k) = {\mathbf c}={\mathbf e}_kc_k\qquad \Longrightarrow $
$\displaystyle {\mathbf e}_k(a_k+b_k-c_k)=0. $
Так как векторы базиса $ {\mathbf e}_k$ являются линейно независимыми, то из равенства нулю последней линейной комбинации следует, что $ c_k=a_k+b_k$.

      2. При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на скаляр:

$\displaystyle {\mathbf b}=m\cdot{\mathbf a}\qquad\Longrightarrow\qquad b_k = m a_k. $

Отметим, что для операции 1 и 2 выполняются все законы (1)-(11), определяющие линейное пространство, поэтому множество троек чисел, для которых определены операции 1 и 2, образуют линейное пространство, а сами тройки являются векторами этого пространства. Хотя направленные отрезки и тройки чисел - это различные геометрические объекты, между ними существуют определенные соответствия (через базисные векторы).

      3. Скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений их координат
$\displaystyle ({\mathbf a},{\mathbf b}) = ({\mathbf e}_ia_i,{\mathbf e}_k b_k) ... ...f e}_k) a_i b_k = \delta_{ik} a_i b_k = a_i b_i = a_xb_x + a_yb_y + a_z b_z, $
где было использовано свойство (13).

      4. Модуль вектора равен положительному корню из суммы квадратов координат:
$\displaystyle \vert{\mathbf a}\vert = \sqrt{a_k^2} = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}, $
в частности, для радиус-вектора $ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Доказательство вытекает из 3, если положить $ {\mathbf b}={\mathbf a}$.

      5. Векторное произведение.
$\displaystyle {\mathbf c}=[{\mathbf a},{\mathbf b}] = [{\mathbf e}_ka_k,{\mathbf e}_lb_l] = [{\mathbf e}_k,{\mathbf e}_l]a_kb_l. $
Согласно (15) векторное произведение базисных ортов можно выразить с помощью $ \varepsilon $-символа и тогда, если $ {\mathbf c}={\mathbf e}_n c_n$, то
$\displaystyle c_n = \varepsilon_{kln}a_kb_l = \varepsilon_{nkl}a_k b_l, $
а вектор $ {\mathbf c}$ запишется как
$\displaystyle {\mathbf c} = \varepsilon_{nkl}{\mathbf e}_n a_k b_l. $
В явной форме для $ n=1(x)$, получим
$\displaystyle c_x = \varepsilon_{1kl} a_k b_l = (\varepsilon_{12l}a_2+\varepsi... ...a_3)b_l = \varepsilon_{123}a_2b_3 + \varepsilon_{132}a_3b_2 = a_yb_z - a_zb_y $
и аналогично для других координат векторного произведения. Легко проверить, что полученные выражения для координат векторного произведения можно получить раскрывая определитель:
\begin{displaymath}[{\mathbf a},{\mathbf b}]= \left\vert \begin{array}{ccc} {\m... ... & a_z \\ [0.5em] b_x & b_y & b_z \\ \end{array}\right\vert. \end{displaymath}
      6. Смешанное произведение векторов
\begin{displaymath} ({\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]) = \varepsilon_{ijk}a... ... & b_z \\ [0.5em] c_x & c_y & c_z \\ \end{array}\right\vert. \end{displaymath}
Представление смешанного произведения векторов через их координаты, записанное выше, доказывается аналогично рассмотренным ранее.
Введение Скалярные и векторные поля
Эпсилон-символ Леви-Чивиты   Содержание   Преобразование ортов декартовых базисов