1. Основные сведения из векторной алгебры
1.9. Координатное представление векторов.
Ранее было показано, что если задан определенный, например, декартовый базис
![$ {\mathbf e}_k$](img155.png)
, то
любой вектор
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
представим в виде линейной комбинации базисных векторов:
![$ {\mathbf a}={\mathbf e}_ka_k$](img232.png)
. Но так как базис
![$ {\mathbf e}_k$](img155.png)
фиксирован, то различные векторы будут
различаться своими координатами
![$ a_k$](img233.png)
, т. е. тройка координат полностью определяет вектор в
заданном базисе. Покажем, что и любые операции с векторами задаются действиями над координатами
векторов.
1. При сложении векторов координаты складываются:
Действительно,
Так как векторы базиса
![$ {\mathbf e}_k$](img155.png)
являются линейно независимыми, то из равенства нулю последней линейной комбинации следует, что
![$ c_k=a_k+b_k$](img237.png)
.
2. При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на скаляр:
Отметим, что для операции 1 и 2 выполняются все законы (
1)-(
11), определяющие
линейное пространство, поэтому множество троек чисел, для которых определены операции 1 и 2,
образуют линейное пространство, а сами тройки являются векторами этого пространства. Хотя
направленные отрезки и тройки чисел - это различные геометрические объекты, между ними существуют
определенные соответствия (через базисные векторы).
3. Скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений их координат
где было использовано свойство (
13).
4. Модуль вектора равен положительному корню из суммы квадратов координат:
в частности, для радиус-вектора
![$ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$](img241.png)
. Доказательство вытекает из 3, если
положить
![$ {\mathbf b}={\mathbf a}$](img242.png)
.
5. Векторное произведение.
Согласно (
15) векторное произведение базисных ортов можно выразить с помощью
![$ \varepsilon $](img2.png)
-символа и тогда, если
![$ {\mathbf c}={\mathbf e}_n c_n$](img244.png)
, то
а вектор
![$ {\mathbf c}$](img76.png)
запишется как
В явной форме для
![$ n=1(x)$](img247.png)
, получим
и аналогично для других координат векторного произведения. Легко проверить, что полученные выражения
для координат векторного произведения можно получить раскрывая определитель:
6. Смешанное произведение векторов
Представление смешанного произведения векторов через их координаты, записанное выше,
доказывается аналогично рассмотренным ранее.