Эпсилон-символ Леви-Чивиты

1. Основные сведения из векторной алгебры

1.8. Эпсилон-символ Леви-Чивиты.

"Эпсилон"-символом Леви-Чивиты называется величина $\varepsilon_{ijk}$ , определенная следующим образом:

$\displaystyle \varepsilon_{ijk}\hspace{-0.4em}=\hspace{-0.4em}\left\{\hspace{-0... ...0, & \mbox{если среди значений индексов есть одинаковые.} \\ \end{array}\right.$

(14)

Напомним, что перестановкой чисел

- обозначено как $\{ijk\}$ - называется последовательность из трех разных чисел 1, 2 и 3, записанная в произвольном порядке, например, $\{132\}$ . Четность перестановки $\{ijk\}$ определяется числом "переставлений" пар чисел, после которых $\{ijk\}$ приводится к стандартной $\{123\}$ : если это число четное, то и перестановка называется четной и наоборот. Например, перестановка $\{132\}$ - нечетная, так как $\{123\}$ получается после 1 переставления чисел 3 и 2. Как следует из определения (14), $\varepsilon$ -символ Леви-Чивиты - это величина, задаваемая 27 числами (индексы

принимают значения 1, 2, 3), среди которых 3 равны единице

$\displaystyle \varepsilon_{123} = \varepsilon_{231} = \varepsilon_{312} = 1,$

три - (

)

$\displaystyle \varepsilon_{213} = \varepsilon_{132} = \varepsilon_{321} = -1,$

и остальные равны нулю, поскольку все другие комбинации будут содержать два или три равных значений индексов.

С использованием определения можно в краткой форме записать систему (3), определяющую "правый" декартовый базис

$\displaystyle [{\mathbf e}_k,{\mathbf e}_l] = \varepsilon_{klm}{\mathbf e}_m.$

(15)

Действительно, проверим (15) для ортов ${\mathbf k}\equiv{\mathbf e}_3$ и ${\mathbf j}\equiv{\mathbf e}_2$ :

$\displaystyle [{\mathbf k},{\mathbf j}] \equiv [{\mathbf e}_3,{\mathbf e}_2] = ... ...f e}_m = \varepsilon_{321}{\mathbf e}_1 = -{\mathbf e}_1 \equiv -{\mathbf i}.$

Если правую и левую части (15) умножить скалярно на орт ${\mathbf e}_n$ , то получим

$\displaystyle ([{\mathbf e}_k,{\mathbf e}_l],{\mathbf e}_n,)=\varepsilon_{klm}({\mathbf e}_m,{\mathbf e}_n) = \varepsilon_{klm}\delta_{mn} = \varepsilon_{kln}.$

Таким образом, эквивалентное определение для $\varepsilon$ -символа Леви-Чивиты можно дать с помощью смешанного произведения ортов декартового базиса в 3-х мерном пространстве:

$\displaystyle \varepsilon_{ijk}=([{\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j],{\mathbf e}_k).$

(16)

$\varepsilon$ -символ связан с векторным или смешанным произведением, но кроме того он может быть выражен с помощью $\delta$ -символа. Действительно, $\varepsilon_{ijk}$ можно записать в виде определителя

$\displaystyle \varepsilon_{ijk}=\left\vert\begin{array}{ccc} \delta_{i1} & \del... ... \\ [0.5em] \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \\ \end{array} \right\vert.$

(17)

Форма следует из (16) после подстановки координат базисных векторов, выраженных с помощью $\delta$ -символов, а с другой стороны (17) также можно рассматривать и как независимое определение $\varepsilon$ -символа.

Для иллюстрации работы с $\delta$ - и $\varepsilon$ -символами рассмотрим несколько важных для дальнейшего изложения примеров.

Пример 1-2. Показать,что

$\displaystyle \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \left\vert\begin{array}{ccc}... ... \\ [0.5em] \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\ \end{array} \right\vert.$

(18)

Решение. Обозначим матрицу, определитель которой стоит в правой части (18) через ${\mathbf A}$ , т. е. $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\det{\mathbf A}$ . Аналогично, $\varepsilon_{ijk}={\mathbf B}$ , $\varepsilon_{lmn}=\det{\mathbf C}$ , где матрицы ${\mathbf B}$ и ${\mathbf C}$ определяются согласно (17). Воспользуемся свойствами определителей:

определитель матрицы ${\mathbf C}$ и транспонированной матрицы ${\mathbf C}^T$ совпадают: $\det{\mathbf A}=\det{\mathbf A}^T$ ;
определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей: $\det({\mathbf A}\cdot{\mathbf B}) = \det{\mathbf A}\det{\mathbf B}$ ;

Тогда, (18) можно переписать в виде:

$\displaystyle {\mathbf B}\cdot{\mathbf C}^T = \left(\begin{array}{ccc} \delta_... ...n2} \\ [0.5em] \delta_{l3} & \delta_{m3} & \delta_{n3} \\ \end{array}\right).$

Элемент матрицы произведения $({\mathbf B}\cdot{\mathbf C}^T)_{11}$ равен

$\displaystyle ({\mathbf B}\cdot{\mathbf C}^T)_{11} = \delta_{i1}\delta_{l1} + \... ...i2}\delta_{l2} + \delta_{i3}\delta_{l3} = \delta_{im}\delta_{lm} = \delta_{il}$

и продолжая аналогично, получим

$\displaystyle {\mathbf B}\cdot{\mathbf C}^T = \left( \begin{array}{ccc} \delta... ... \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\ \end{array}\right) = {\mathbf A},$

что и требовалось доказать.

Пример 1-3. Доказать тождество

$\displaystyle \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn} = \delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm}.$

Решение. Воспользуемся результатом предыдущего примера, тогда $(l\rightarrow k)$ :

$\displaystyle \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn} = \left\vert\begin{array}{ccc... ...\ [0.5em] \delta_{kk} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\ \end{array} \right\vert$

и после раскрытия определителя, учитывая, что сумма $\delta_{kk}=3$ , получим:

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn} & = & ... ...& \delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm}. \end{array}\end{displaymath}$

Пример 1-4. Вычислить двойную сумму $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kjn}$ .

Решение. Используем результат $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn} = \delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm}$ , тогда, заменяя индекс $m\rightarrow j$ ,

$\displaystyle \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kjn} = \delta_{ij}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jj} = \delta_{in} - 3\delta_{in} = -2\delta_{in}.$

Отсюда, в частности, следует, что $\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk} = \varepsilon_{ijk}^2 = 6$ .

Пример 1-5. Определитель $3\times 3$ матрицы ${\mathbf A}=(\alpha_{ij})$ может быть записан в виде :

$\displaystyle \det{\mathbf A} = \varepsilon_{ijk}\alpha_{1i}\alpha_{2j}\alpha_{3k}.$

(19)

(доказать самостоятельно !)


			Содержание