1. Основные сведения из векторной алгебры
1.8. Эпсилон-символ Леви-Чивиты.
"Эпсилон"-символом Леви-Чивиты называется величина
![$ \varepsilon_{ijk}$](img187.png)
, определенная
следующим образом:
![$\displaystyle \varepsilon_{ijk}\hspace{-0.4em}=\hspace{-0.4em}\left\{\hspace{-0...
...0, & \mbox{если среди значений индексов есть одинаковые.} \\ \end{array}\right.$](img188.png) |
(14) |
Напомним, что перестановкой чисел
![$ i,j,k$](img189.png)
- обозначено как
![$ \{ijk\}$](img190.png)
- называется последовательность
из трех разных чисел 1, 2 и 3, записанная в произвольном порядке,
например,
![$ \{132\}$](img191.png)
. Четность перестановки
![$ \{ijk\}$](img190.png)
определяется числом "переставлений" пар
чисел, после которых
![$ \{ijk\}$](img190.png)
приводится к стандартной
![$ \{123\}$](img192.png)
: если это число
четное,
то и перестановка называется четной и наоборот. Например, перестановка
![$ \{132\}$](img191.png)
- нечетная,
так как
![$ \{123\}$](img192.png)
получается после 1 переставления чисел 3 и 2. Как следует из определения (
14),
![$ \varepsilon $](img2.png)
-символ Леви-Чивиты - это величина,
задаваемая
27 числами (индексы
![$ i$](img174.png)
,
![$ j$](img193.png)
,
![$ k$](img158.png)
принимают значения 1, 2, 3), среди которых
3 равны единице
три - (
![$ -1$](img195.png)
)
и остальные равны нулю, поскольку все другие комбинации будут содержать два или три равных
значений индексов.
С использованием определения можно в краткой форме записать систему (
3), определяющую
"правый" декартовый базис
![$\displaystyle [{\mathbf e}_k,{\mathbf e}_l] = \varepsilon_{klm}{\mathbf e}_m.$](img197.png) |
(15) |
Действительно, проверим (
15) для ортов
![$ {\mathbf k}\equiv{\mathbf e}_3$](img198.png)
и
![$ {\mathbf j}\equiv{\mathbf e}_2$](img199.png)
:
Если правую и левую части (
15) умножить скалярно на орт
![$ {\mathbf e}_n$](img201.png)
, то получим
Таким образом, эквивалентное определение для
![$ \varepsilon $](img2.png)
-символа Леви-Чивиты можно дать
с помощью смешанного произведения ортов декартового базиса в 3-х мерном пространстве:
![$\displaystyle \varepsilon_{ijk}=([{\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j],{\mathbf e}_k).$](img203.png) |
(16) |
![$ \varepsilon $](img2.png)
-символ связан с векторным или смешанным произведением, но кроме того он может
быть выражен с помощью
![$ \delta $](img1.png)
-символа. Действительно,
![$ \varepsilon_{ijk}$](img187.png)
можно записать
в виде определителя
![$\displaystyle \varepsilon_{ijk}=\left\vert\begin{array}{ccc} \delta_{i1} & \del...
... \\ [0.5em] \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \\ \end{array} \right\vert.$](img204.png) |
(17) |
Форма следует из (
16) после подстановки координат базисных векторов,
выраженных с помощью
![$ \delta $](img1.png)
-символов, а с другой стороны (
17) также
можно рассматривать и как независимое определение
![$ \varepsilon $](img2.png)
-символа.
Для иллюстрации работы с
![$ \delta $](img1.png)
- и
![$ \varepsilon $](img2.png)
-символами рассмотрим несколько важных
для дальнейшего изложения примеров.
Пример 1-2. Показать,что
![$\displaystyle \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \left\vert\begin{array}{ccc}...
... \\ [0.5em] \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \\ \end{array} \right\vert.$](img205.png) |
(18) |
Решение. Обозначим матрицу, определитель которой стоит в правой части (
18) через
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
, т. е.
![$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn}=\det{\mathbf A}$](img207.png)
. Аналогично,
![$ \varepsilon_{ijk}={\mathbf B}$](img208.png)
,
![$ \varepsilon_{lmn}=\det{\mathbf C}$](img209.png)
, где матрицы
![$ {\mathbf B}$](img210.png)
и
![$ {\mathbf C}$](img211.png)
определяются согласно (
17). Воспользуемся свойствами определителей:
- определитель матрицы
и транспонированной матрицы
совпадают:
;
- определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц-сомножителей:
;
Тогда, (
18) можно переписать в виде:
Элемент матрицы произведения
![$ ({\mathbf B}\cdot{\mathbf C}^T)_{11}$](img216.png)
равен
и продолжая аналогично, получим
что и требовалось доказать.
Пример 1-3. Доказать тождество
Решение. Воспользуемся результатом предыдущего примера, тогда
![$ (l\rightarrow k)$](img220.png)
:
и после раскрытия определителя, учитывая, что сумма
![$ \delta_{kk}=3$](img222.png)
, получим:
Пример 1-4. Вычислить двойную сумму
![$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kjn}$](img224.png)
.
Решение. Используем результат
![$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kmn} = \delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm}$](img225.png)
, тогда,
заменяя индекс
![$ m\rightarrow j$](img226.png)
,
Отсюда, в частности, следует, что
![$ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk} = \varepsilon_{ijk}^2 = 6$](img228.png)
.
Пример 1-5. Определитель
![$ 3\times 3$](img229.png)
матрицы
![$ {\mathbf A}=(\alpha_{ij})$](img230.png)
может быть записан в виде
:
![$\displaystyle \det{\mathbf A} = \varepsilon_{ijk}\alpha_{1i}\alpha_{2j}\alpha_{3k}.$](img231.png) |
(19) |
(доказать самостоятельно !)