1. Основные сведения из векторной алгебры

Декартов базис 1.7. Дельта-символ Кронекера. Эпсилон-символ Леви-Чивиты.


      В этом и следующем разделах будет дано "конструктивное" определение часто встречающихся величин с индексами с целью более глубокого понимания особенностей их использования.

      Дельта-символом Кронекера $ \delta_{ij}$ называется величина, которая определяется как
$\displaystyle \delta_{ik} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{если} i=k \\ [0.5em] 0, & \mbox{если} i\ne k. \\ [0.5em] \end{array} \right.$ (11)
Фактически, это величина, задаваемая 9-ю числами, три из которых равны 1, а остальные нули. Записывая все значения дельта-символа в соответствии с обозначением элементов матрицы, получим
$\displaystyle (\delta) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ [0.5em] 0 & 1 & 0 \\ [0.5em] 0 & 0 & 1 \\ [0.0em] \end{array} \right).$ (12)
Таким образом, $ \delta_{ij}$ это обозначение произвольного элемента единичной матрицы. Используя определение (11), можно записать условие ортонормировки декартового базиса (1) в сокращенном виде
$\displaystyle ({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_k) = \delta_{ik},$ (13)
заменив, таким образом, девять равенств (1) только одним.

      Как уже указывалось, любой вектор может быть разложен по базисным векторам, например, по декартовому базису $ ({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k})$. Разложим по этому базису, например, вектор $ {\mathbf j}$. Очевидно, что
$\displaystyle {\mathbf j}={\mathbf i}0 + {\mathbf j}1 + {\mathbf k}0, $
т. е. вектор $ {\mathbf j}$ в своем базисе имеет координаты $ (0,1,0)$. Зададимся вопросом: какие координаты будет иметь произвольный базисный вектор в своем базисе. $ \delta $-символ позволяет ответить на этот вопрос: координаты вектора $ {\mathbf e}_k$ будут выражаться тройкой чисел $ (\delta_{1k},\delta_{2k},\delta_{3k})$. Таким образом, $ \delta_{ik}$ - это $ i$-тая координата $ k$-того орта (или наоборот) в своем базисе.

      Главной особенностью $ \delta $-символа Кронекера является то, что он "снимает" суммирование. Рассмотрим сумму $ \displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{3}}\delta_{ik}x_k=\delta_{ik}x_k$. Сгруппируем слагаемые этой суммы следующим образом
$\displaystyle \displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{3}}\delta_{ik}x_k = \displaystyle{\sum\limits_{k\ne i}^{3}}\delta_{ik}x_k + \delta_{ii}x_i, $
т. е. в одном лишь слагаемом значение индекса суммирования стало равным значению "внешнего" для этой суммы значения ($ k$). Поскольку, согласно определению (11), все значения $ \delta $-символа в первом слагаемом (сумме) равны нулю, то
$\displaystyle \displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{3}}\delta_{ik}x_k = \displaystyle{\sum\limits_{k\ne i}^{3}}0\cdot x_k + 1\cdot x_i = x_i. $
Таким образом, окончательно результат суммирования имеет вид:
$\displaystyle \displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{3}}\delta_{ik}x_k = x_i. $
Полученный результат позволяет сформулировать общее правило "снятия" сумм: при суммирования с $ \delta $-символом, сумма по "бегущему" индексу $ \delta $-символа снимается, а все остальные индексы в выражении заменяются на его "свободный".

      Напомним, что в рассмотренном выше примере, "бегущим" индексом $ \delta $-символа является индекс $ k$, "свободным" - $ i$. $ \delta $-символ естественным оборазом возникает в скалярных произведениях декартовых ортов, (13), а другой путь получения $ \delta $-символа связан с дифференцированием по координатам. Рассмотрим производную координаты $ x_k$ (как функции) по координате (как переменной) $ x_i$, т. е. $ \displaystyle{\frac{\partial x_k}{\partial x_i}}$. Очевидно, что результат равен единице, если $ i=k$, и нулю - при $ i\ne k$ и, таким образом,
$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial x_k}{\partial x_i}} = \delta_{ik}. $

      Пример 1-1. Вычислить производную $ \displaystyle{\frac{\partial (x_ix_i)}{\partial x_k}}$ .
      Решение.

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial (x_ix_i)}{\partial x_k}} = \displays... ...x_i\displaystyle{\frac{\partial x_i}{\partial x_k}} = 2x_i \delta_{ik} = 2x_k. $
Введение Скалярные и векторные поля
Декартов базис   Содержание   Эпсилон-символ Леви-Чивиты.