1. Основные сведения из векторной алгебры
1.7. Дельта-символ Кронекера.
В этом и следующем разделах будет дано "конструктивное" определение часто встречающихся
величин с индексами с целью более глубокого понимания особенностей их использования.
Дельта-символом Кронекера
![$ \delta_{ij}$](img165.png)
называется величина, которая определяется как
![$\displaystyle \delta_{ik} = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \mbox{если} i=k \\ [0.5em] 0, & \mbox{если} i\ne k. \\ [0.5em] \end{array} \right.$](img166.png) |
(11) |
Фактически, это величина, задаваемая 9-ю числами, три из которых равны 1, а остальные нули.
Записывая все значения дельта-символа в соответствии с обозначением элементов матрицы, получим
![$\displaystyle (\delta) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ [0.5em] 0 & 1 & 0 \\ [0.5em] 0 & 0 & 1 \\ [0.0em] \end{array} \right).$](img167.png) |
(12) |
Таким образом,
![$ \delta_{ij}$](img165.png)
это обозначение произвольного элемента единичной матрицы. Используя
определение (
11), можно записать условие ортонормировки декартового базиса (
1)
в сокращенном виде
![$\displaystyle ({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_k) = \delta_{ik},$](img168.png) |
(13) |
заменив, таким образом, девять равенств (
1) только одним.
Как уже указывалось, любой вектор может быть разложен по базисным векторам, например, по
декартовому базису
![$ ({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k})$](img169.png)
. Разложим по этому базису, например, вектор
![$ {\mathbf j}$](img136.png)
. Очевидно, что
т. е. вектор
![$ {\mathbf j}$](img136.png)
в своем базисе имеет координаты
![$ (0,1,0)$](img171.png)
. Зададимся вопросом: какие
координаты будет иметь произвольный базисный вектор в своем базисе.
![$ \delta $](img1.png)
-символ
позволяет ответить на этот вопрос: координаты вектора
![$ {\mathbf e}_k$](img155.png)
будут выражаться тройкой
чисел
![$ (\delta_{1k},\delta_{2k},\delta_{3k})$](img172.png)
. Таким образом,
![$ \delta_{ik}$](img173.png)
- это
![$ i$](img174.png)
-тая координата
![$ k$](img158.png)
-того орта (или наоборот) в своем базисе.
Главной особенностью
![$ \delta $](img1.png)
-символа Кронекера является то, что он "снимает" суммирование.
Рассмотрим сумму
![$ \displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{3}}\delta_{ik}x_k=\delta_{ik}x_k$](img175.png)
. Сгруппируем слагаемые этой суммы
следующим образом
т. е. в одном лишь слагаемом значение индекса суммирования стало равным значению
"внешнего" для этой суммы значения (
![$ k$](img158.png)
). Поскольку, согласно определению (
11),
все значения
![$ \delta $](img1.png)
-символа в первом слагаемом (сумме) равны нулю, то
Таким образом, окончательно результат суммирования имеет вид:
Полученный результат позволяет сформулировать общее правило "снятия" сумм:
при суммирования с
-символом, сумма по "бегущему" индексу
-символа
снимается, а все остальные индексы в выражении заменяются на его "свободный".
Напомним, что в рассмотренном выше примере, "бегущим" индексом
![$ \delta $](img1.png)
-символа является
индекс
![$ k$](img158.png)
, "свободным" -
![$ i$](img174.png)
.
![$ \delta $](img1.png)
-символ естественным оборазом возникает в скалярных произведениях декартовых ортов,
(
13), а другой путь получения
![$ \delta $](img1.png)
-символа связан с дифференцированием по
координатам. Рассмотрим производную координаты
![$ x_k$](img179.png)
(как функции) по координате (как
переменной)
![$ x_i$](img180.png)
, т. е.
![$ \displaystyle{\frac{\partial x_k}{\partial x_i}}$](img181.png)
. Очевидно, что результат равен единице, если
![$ i=k$](img182.png)
,
и нулю - при
![$ i\ne k$](img183.png)
и, таким образом,
Пример 1-1. Вычислить производную
![$ \displaystyle{\frac{\partial (x_ix_i)}{\partial x_k}}$](img185.png)
.
Решение.