1. Основные сведения из векторной алгебры
1.6. Декартов базис
Если векторы
![$ {\mathbf e}_1$](img127.png)
,
![$ {\mathbf e}_2$](img128.png)
,
![$ {\mathbf e}_3$](img129.png)
взаимно ортогональны и по модулю равны
единице, то они называются
ортами прямоугольной декартовой системы координат, а сам
базис
ортонормированным декартовым базисом. Орты декартовой системы координат обычно
обозначают как
![$ {\mathbf i}$](img135.png)
,
![$ {\mathbf j}$](img136.png)
,
![$ {\mathbf k}$](img137.png)
. Согласно определению
![$\displaystyle ({\mathbf i},{\mathbf i})=({\mathbf j},{\mathbf j})=({\mathbf k},...
...mathbf i},{\mathbf j})=({\mathbf i},{\mathbf k})=({\mathbf j},{\mathbf k}) = 0.$](img138.png) |
(1) |
Главная особеннность декартовых базисов состоит в том, что координаты любого вектора
в этом базисе равны проекциям этого вектора на три взаимно ортогональных направления,
определяемых ортами. Эти направления называют координатными осями декартовой системы
координат (рис.
9): оси
![$ X$](img140.png)
,
![$ Y$](img141.png)
и
![$ Z$](img142.png)
. Точка пересечения координатных осей
0 называется началом координат. Тогда
Рис.9 Декартова система координат
где проекции вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
определены как
![$\displaystyle a_x=a_{\mathbf i}=({\mathbf i},{\mathbf a}),\quad a_y=a_{\mathbf ...
...\mathbf j},{\mathbf a}),\quad a_z=a_{\mathbf k}=({\mathbf k},{\mathbf a}).\quad$](img144.png) |
(2) |
Если орты декартовой системы координат связаны между собой следующими соотношениями
![$\displaystyle [{\mathbf i},{\mathbf j}]={\mathbf k},\quad [{\mathbf j},{\mathbf k}]={\mathbf i},\quad [{\mathbf k},{\mathbf i}]={\mathbf j},\quad$](img145.png) |
(3) |
то такая система координат называется
правой. В заданной декартовой системе координат
для каждой точки пространства можно ввести так называемый радиус-вектор
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
- направленный
отрезок, начинающийся в начале координат и заканчивающийся в данной точке. Координаты радиус-вектора
совпадают с декартовыми координатами соответствующей точки (
рис. 10):
![$\displaystyle {\mathbf r} = {\mathbf i}x + {\mathbf j}y + {\mathbf k}z.$](img148.png) |
(4) |
Рис.10. К определению радиус-вектора
Модуль радиус-вектора
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
равен расстоянию от начала координат до точки. Отметим следующее.
Вектор
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
как направленный отрезок не зависит от системы координат, от выбранного базиса
зависят его координаты. Радиус-вектор точки
![$ M$](img149.png)
-
![$ {\mathbf r}_M$](img150.png)
"привязан" к системе координат и
зависит от выбора начала координат. Отметим также, что три орта
![$ {\mathbf i}$](img135.png)
,
![$ {\mathbf j}$](img136.png)
,
![$ {\mathbf k}$](img137.png)
декартовой системы координат и определяемые ими координатные оси полностью эквивалентны. Выражения
(
1)-(
4) аналогичны для каждого орта. Поэтому, для сокращения записи введем
следующие обозначения:
![\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} {\mathbf i}\equiv{\mathbf e}_1 & x \equiv ...
...bf e}_3 & z \equiv x_3 & a_z \equiv a_3. \\ [0.5em] \end{array}\end{displaymath}](img151.png) |
(5) |
Тогда, декартов базис - это тройка векторов
![$\displaystyle {\mathbf e}_k,\quad k=1,2,3.$](img152.png) |
(6) |
Координаты вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
запишутся как:
![$\displaystyle a_k = ({\mathbf e}_k,{\mathbf a})\qquad k=1,2,3$](img153.png) |
(7) |
и т. д. В дальнейшем будет рассматриваться только трехмерное пространство, поэтому, если
специально не указано, то индексы будут принимать значения 1, 2, 3. Например,
![$ x_j$](img154.png)
- это
какая-то из трех координат радиус-вектора
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
, как принято в (
5).
В новых обозначениях разложение вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
по декартовому базису
![$ {\mathbf e}_k$](img155.png)
запишется
как
![$\displaystyle {\mathbf a} = \displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{3}}{\mathbf e}_k a_k,$](img156.png) |
(8) |
а радиус-вектора
![$\displaystyle {\mathbf a} = \displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{3}}{\mathbf e}_k x_k.$](img157.png) |
(9) |
В этих выражениях индексы
![$ k$](img158.png)
уже не свободны, это индексы суммирования и от них правая часть
не зависит (их можно обозначить как угодно), что видно по левой части, где находится вектор.
Это соответствие будет выполняться всегда и поэтому нет необходимости писать знак суммы
![$ \Sigma$](img159.png)
,
а для таких выражений принято
правило суммирования Эйнштейна: если выражение с индексами
содержит парные индексы, то по ним предполагается суммирование (в 3-х мерном пространстве значения индексов
изменяются от 1 до 3). Тогда, разложения вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
(
8)
и радиус-вектора
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
(
9) запишутся в сокращенной форме как
![$\displaystyle {\mathbf a} = {\mathbf e}_i a_i,\qquad\qquad {\mathbf r} = {\mathbf e}_i x_i.$](img160.png) |
(10) |
При использовании этого правила следует следить, чтобы количество свободных индексов в правой
и левой частях выражения было одинаковым и не менялось при выполнении каких-либо преобразований.
Например, из (
1) следует, что
![$ ({\mathbf e}_k,{\mathbf e}_k)=3$](img161.png)
. Иногда индекс суммирования
может быть
свернут арифметическим действием. Так,
![$ x_i^2$](img162.png)
следует понимать как
![$ x^2+y^2+z^2$](img163.png)
, так как
![$ x_i^2=x_i\cdot x_i$](img164.png)
.