Векторный базис

1. Основные сведения из векторной алгебры

1.5. Векторный базис

Линейной комбинацией векторов ${\mathbf a}_1,{\mathbf a}_2,\cdots,{\mathbf a}_n$ называется выражение вида:

$\displaystyle c_1{\mathbf a}_1+c_2{\mathbf a}_2+\cdots+c_n{\mathbf a}_n = \displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{n}}c_i{\mathbf a}_i,$

где

- произвольные вещественные числа.

Векторы ${\mathbf a}_1,{\mathbf a}_2,\cdots,{\mathbf a}_n$ называются линейно зависимыми, если найдутся числа $c_1, c_2, \cdots, c_n$ , не все равные нулю, такие, что

$\displaystyle c_1{\mathbf a}_1+c_2{\mathbf a}_2+\cdots+c_n{\mathbf a}_n = \displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{n}}c_i{\mathbf a}_i = 0,$

т. е. если существует линейная комбинация, обращающаяся в нуль. В противном случае, векторы ${\mathbf a}_1,{\mathbf a}_2,\cdots,{\mathbf a}_n$ называются линейно независимыми. Линейное пространство называется

-мерным, если в нем существует

линейно независимых векторов, а любые

уже являются линейно зависимыми.При определении векторов, как направленных отрезков, неявно подразумевалось, что они заданы в трехмерном евклидовом пространстве. Докажем для них несколько очевидных утверждений.

Два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Действительно, пусть

$\displaystyle c_1{\mathbf a}_1 + c_2{\mathbf a}_2 = 0,$

причем (для определенности) $c_2\ne 0$ . Тогда,

$\displaystyle {\mathbf a}_2 = c{\mathbf a}_1,\qquad c=-\displaystyle{\frac{c_1}{c_2}}\qquad \Longrightarrow\qquad {\mathbf a}_1\parallel{\mathbf a}_2.$

Три линейно зависимых вектора - компланарны. Действительно, пусть

$\displaystyle c_1{\mathbf a}_1 + c_2{\mathbf a}_2 + c_3{\mathbf a}_3 = 0,$

и по крайней мере $c_2\ne 0$ . Тогда,

$\displaystyle {\mathbf a}_3 = m{\mathbf a}_1 + n{\mathbf a}_2,\qquad m=-\displaystyle{\frac{c_1}{c_3}},\quad n=-\displaystyle{\frac{c_2}{c_3}}.$

Значит, вектор ${\mathbf a}_3$ лежит в одной плоскости с векторами ${\mathbf a}_1$ и ${\mathbf a}_2$ .

Если векторы ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ линейно независимы, то любой вектор ${\mathbf c}$ , компланарный с ними, может быть единственным образом разложен по этим векторам, т. е. представлен в виде их линейной комбинации

$\displaystyle {\mathbf c}=m{\mathbf a} + n{\mathbf b}.$

Докажем возможность такого разложения. Из условия компланарности ${\mathbf a}$ , ${\mathbf b}$ , ${\mathbf c}$ следует, что эти векторы линейно зависимы

$\displaystyle c_1{\mathbf a} + c_2{\mathbf b} + c_3{\mathbf c} = 0,$

а так как ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ линейно независимы, то $c_3\ne 0$ . Тогда, обозначая $m=-\frac{c_1}{c_3}$ , $n=-\frac{c_2}{c_3}$ , получим искомое разложение. Докажем единственность разложения. Пусть существует другое разложение вектора ${\mathbf c}$ :

$\displaystyle {\mathbf c}=m'{\mathbf a} + n'{\mathbf b}.$

Тогда $(m-m'){\mathbf a}+(n-n'){\mathbf b}=0$ , а поскольку ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ линейно независимы, то

. Аналогично можно доказать третье утверждение: если три вектора ${\mathbf a}$ , ${\mathbf b}$ , ${\mathbf c}$ линейно зависимы (некомпланарны), то любой вектор ${\mathbf d}$ единственным образом представляется в виде линейной комбинации

$\displaystyle {\mathbf d} = m{\mathbf a} + n{\mathbf b} + p{\mathbf c}.$

Отсюда следует, что любые четыре вектора в трехмерном пространстве являются линейно зависимыми.

Базисом в трехмерном пространстве называется тройка векторов ${\mathbf e}_1$ , ${\mathbf e}_2$ , ${\mathbf e}_3$ , таких, что любой вектор ${\mathbf a}$ может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации этих векторов:

$\displaystyle {\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3.$

Коэффициенты

называют координатами (компонентами) вектора ${\mathbf a}$ в базисе $({\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)$ . Очевидно, что базисов может быть сколь угодно много - любые три некомпланарных вектора можно выбрать в качестве базиса.


			Содержание