Векторное и смешанное произведение векторов

Наряду со скалярным произведением, сопоставляющим двумвекторам число, для векторов можно ввести и так называемое векторное произведение, которое сопоставляет двум векторам новый вектор. Векторным произведением векторов ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ называется вектор ${\mathbf c}$ , обозначаемый как ${\mathbf c}=[{\mathbf a},{\mathbf b}]$ (или $[{\mathbf a}\times{\mathbf b}]$ , ${\mathbf a}\times{\mathbf b}$ ), модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ , отложенных из одной точки, а направление совпадает с поступательным движением правого винта (рис.7).

Легко видеть, что

В отличие от скалярного произведения, векторное является антикоммутативным, т. е. $[{\mathbf a},{\mathbf b}]=-[{\mathbf b},{\mathbf a}]$ , но, как и скалярное произведение, оно обладает свойством дистрибутивности: $[{\mathbf a},{\mathbf b}+{\mathbf c}]=[{\mathbf a},{\mathbf b}]+[{\mathbf a},{\mathbf c}]$ .

Скалярное произведение векторов ${\mathbf a}$ и ${\mathbf d}=[{\mathbf b},{\mathbf c}]$ , т. е $({\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}])$ называется смешанным произведением трех векторов. По определению скалярного произведения

и ясно, что смешанное произведение по модулую равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ${\mathbf a}$ , ${\mathbf b}$ , ${\mathbf c}$ (рис.8)

Отсюда следует, что если три вектора являются компланарными, то их смешанное произведение равно нулю. В смешанном произведении сомножители можно переставлять местами циклически:

Рассмотрим векторное произведение вектора ${\mathbf a}$ на векторное произведение $[{\mathbf b},{\mathbf c}]$ , т. е. построим вектор ${\mathbf d}=[{\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]]$ . Полученное произведение называется двойным векторным произведением. Результирующий вектор ${\mathbf d}$ по определению векторного произведения перпендикулярен векторам $[{\mathbf b},{\mathbf c}]$ и ${\mathbf a}$ , т. е. $({\mathbf d},[{\mathbf b},{\mathbf c}])=0$ и $({\mathbf d},{\mathbf a})=0$ . Но, если смешанное произведение равно нулю, то векторы, которые в него входят, являются компланарными и, как будет показано ниже, вектор ${\mathbf d}$ можно представить в виде

Тогда, $({\mathbf d},{\mathbf a})=(m{\mathbf b} +n{\mathbf c},{\mathbf a})=m({\mathbf b},{\mathbf a})+n({\mathbf c},{\mathbf a})=0$ , откуда $m=\mu({\mathbf a},{\mathbf c})$ , $n=-\mu({\mathbf a},{\mathbf b})$ , после чего оказывается, что ${\mathbf d}=[{\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]]=\mu\{({\mathbf a},{\mathbf c}){\mathbf b} - ({\mathbf a},{\mathbf b}){\mathbf c} \}$ . Можно показать, что коэффициент $\mu=1$ и тогда получается правило раскрытия двойного векторного произведения, которое для удобства запоминания записывается в форме:

$\displaystyle [{\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]]={\mathbf b}({\mathbf a},{\mathbf c}) - {\mathbf c}({\mathbf a},{\mathbf b})$ (правило БАЦ минус ЦАБ).

Как следствие из последней формулы, можно произвести разложение произвольного вектора ${\mathbf b}$ по двум направлениям, параллельному и перпендикулярному данному вектору ${\mathbf a}$ :

Это разложение автоматически получается из формулы для двойного векторного произведения, если если в ней положить ${\mathbf c}={\mathbf a}$ . Заметим, что двойное векторное произведение не обладает свойством ассоциативности : $[{\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}]]\ne[[{\mathbf a},{\mathbf b}],{\mathbf c}]$ .

И наконец, последнее в этом разделе. Получаемый в результате векторного произведения вектор, вообще говоря, истинным вектором не является. Он по своей внутренней структуре отличается от обычных векторов (задание его направления зависит от "винта": для правого оно одно, для левого оно противоположное). По этой же причине смешанное произведение не является истинным скаляром. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, обычные векторы иногда называют полярными, а векторы, связанные с векторным произведением, аксиальными или псевдовекторами. Более детально все различия между векторами и псевдовекторами будут рассмотрены позже.