Скалярное произведение векторов

Углом между векторами ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ называется угол между равными им векторами, имеющими общее начало. Он обозначается как $\widehat{({\mathbf a},{\mathbf b})}$ , (рис.5)

Угол между векторами может принимать значения от

(для параллельных векторов) до

(для антипараллельных). Если $\widehat{({\mathbf a},{\mathbf b})}=90^o$ , то эти векторы называются ортогональными, что обозначается как: ${\mathbf a}\perp{\mathbf b}$ . Так как нулевой вектор имеет произвольное направление, то угол между ним и ненулевым вектором, а также угол между двумя нулевыми векторами может принимать любые значения из интервала

Проекцией вектора ${\mathbf a}$ на направление вектора ${\mathbf b}$ называется скаляр, обозначаемый как $a_{{\mathbf b}}$ и равный длине отрезка, отсекаемого на прямой, проходящей через вектор ${\mathbf b}$ , перпендикулярными к ней плоскостями, проведенными через концы векторов ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ , взятый со знаком (+), если направление от проекции начала вектора ${\mathbf a}$ к проекции конца совпадает с направлением вектора ${\mathbf b}$ , и со знаком (-) - в противном случае (рис. 6). Ясно, что

$\displaystyle a_{{\mathbf b}}=a\cdot\cos\widehat{({\mathbf a},{\mathbf b})}$ и $\displaystyle \qquad b_{{\mathbf a}}=b\cdot\cos\widehat{({\mathbf a},{\mathbf b})}.$

Если ${\mathbf a}\perp{\mathbf b}$ , то $a_{{\mathbf b}}=b_{{\mathbf a}}=0$ ; ${\mathbf a}\uparrow\uparrow{\mathbf b}$ , $a_{{\mathbf b}}=a, b_{{\mathbf a}}=b$ .

Скалярным произведением векторов ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ называется скаляр, обозначаемый как $({\mathbf a},{\mathbf b})$ , или $({\mathbf a}\cdot{\mathbf b})$ (это обозначение удобнее использовать, если выражение содержит другие операции с векторами) или просто ${\mathbf a}\cdot{\mathbf b}$ и равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

Очевидно, что $({\mathbf a},{\mathbf b})=a_{\mathbf b}b=b_{\mathbf a}a$ . Если ${\mathbf a}\uparrow\uparrow{\mathbf b}$ , то $({\mathbf a},{\mathbf b})=ab$ , в частности $({\mathbf a},{\mathbf a})=a^2$ . Если ${\mathbf a}\uparrow\downarrow{\mathbf b}$ , то $({\mathbf a},{\mathbf b})=-ab$ . Наконец, для ${\mathbf a}\perp{\mathbf b}$ , $({\mathbf a},{\mathbf b})=0$ и соответственно $({\mathbf a},{\mathbf 0})=({\mathbf 0},{\mathbf 0})=0$ .

Из вышеприведенного определения скалярного произведения векторов как направленных отрезков следуют свойства:

1. $({\mathbf a},{\mathbf a})\ge 0$ , причем $({\mathbf a},{\mathbf a})=0$ , если ${\mathbf a}\equiv 0$ ;

2. $({\mathbf a},{\mathbf b})=({\mathbf b},{\mathbf a})$ (коммутативность);

3. $({\mathbf a}+{\mathbf b},{\mathbf c}) = ({\mathbf a},{\mathbf c})+({\mathbf b},{\mathbf c})$ (дистрибутивность);

4. $(\lambda{\mathbf a},{\mathbf b})=\lambda({\mathbf a},{\mathbf b})$ ;

Если в линейном пространстве задано скалярное произведение векторов, т. е. правило сопоставления двум любым векторам - числа, удовлетворяющее свойствам (1-4), то такое пространство называется евклидовым.

Подчеркнем еще раз: скалярное произведение даже на одном линейном пространстве можно задавать по-разному, но оно обязательно должно удовлетворять перечисленным свойствам (1-4). В качестве примера иных, чем рассмотренное, скалярных произведений, можно указать следующеe (для обозначения таких типов произведений часто используют угловые скобки):

в упоминавшемся выше линейном пространстве функций. Легко проверить, что (1-4) выполняются, как следствие свойств определенных интегралов.