1. Основные сведения из векторной алгебры
1.3. Скалярное произведение векторов ![Векторное и смешанное](ARROWS/right_small.gif)
Углом между векторами
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
и
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
называется угол между равными им векторами,
имеющими общее начало. Он обозначается как
![$ \widehat{({\mathbf a},{\mathbf b})}$](img45.png)
, (
рис.5)
Рис.5 К определению скалярного произведения векторов
Угол между векторами может принимать значения от
![$ 0^o$](img47.png)
(для параллельных векторов) до
![$ 180^o$](img48.png)
(для антипараллельных). Если
![$ \widehat{({\mathbf a},{\mathbf b})}=90^o$](img49.png)
, то эти векторы называются
ортогональными, что обозначается как:
![$ {\mathbf a}\perp{\mathbf b}$](img50.png)
. Так как нулевой вектор
имеет произвольное направление, то угол между ним и ненулевым вектором, а также угол между
двумя нулевыми векторами может принимать любые значения из интервала
![$ [0^o,180^o]$](img51.png)
.
Проекцией вектора
на направление вектора
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
называется скаляр, обозначаемый
как
![$ a_{{\mathbf b}}$](img53.png)
и равный длине отрезка, отсекаемого на прямой, проходящей через вектор
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
,
перпендикулярными к ней плоскостями, проведенными через концы векторов
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
и
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
, взятый
со знаком (+), если направление от проекции начала вектора
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
к проекции конца совпадает
с направлением вектора
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
, и со знаком (-) - в противном случае (
рис. 6).
Ясно, что
Рис. 6 Проекция вектора
и![$\displaystyle \qquad
b_{{\mathbf a}}=b\cdot\cos\widehat{({\mathbf a},{\mathbf b})}.
$](img55.png)
Скалярным произведением векторов
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
и
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
называется
скаляр, обозначаемый
как
![$ ({\mathbf a},{\mathbf b})$](img58.png)
, или
![$ ({\mathbf a}\cdot{\mathbf b})$](img59.png)
(это обозначение удобнее использовать, если выражение содержит
другие операции с векторами) или просто
![$ {\mathbf a}\cdot{\mathbf b}$](img60.png)
и равный
произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
Очевидно, что
![$ ({\mathbf a},{\mathbf b})=a_{\mathbf b}b=b_{\mathbf a}a$](img62.png)
. Если
![$ {\mathbf a}\uparrow\uparrow{\mathbf b}$](img13.png)
, то
![$ ({\mathbf a},{\mathbf b})=ab$](img63.png)
, в частности
![$ ({\mathbf a},{\mathbf a})=a^2$](img64.png)
. Если
![$ {\mathbf a}\uparrow\downarrow{\mathbf b}$](img14.png)
,
то
![$ ({\mathbf a},{\mathbf b})=-ab$](img65.png)
. Наконец, для
![$ {\mathbf a}\perp{\mathbf b}$](img50.png)
,
![$ ({\mathbf a},{\mathbf b})=0$](img66.png)
и соответственно
![$ ({\mathbf a},{\mathbf 0})=({\mathbf 0},{\mathbf 0})=0$](img67.png)
.
Из вышеприведенного определения скалярного произведения векторов как направленных отрезков
следуют свойства:
1.
![$ ({\mathbf a},{\mathbf a})\ge 0$](img68.png)
, причем
![$ ({\mathbf a},{\mathbf a})=0$](img69.png)
, если
![$ {\mathbf a}\equiv 0$](img70.png)
;
2.
(коммутативность);
3.
(дистрибутивность);
4.
;
Если в линейном пространстве задано скалярное произведение векторов, т. е. правило сопоставления
двум любым векторам - числа, удовлетворяющее свойствам (1-4), то такое пространство называется
евклидовым.
Подчеркнем еще раз: скалярное произведение даже на одном линейном пространстве можно задавать
по-разному, но оно обязательно должно удовлетворять перечисленным свойствам (1-4). В качестве
примера иных, чем рассмотренное, скалярных произведений, можно указать следующеe (для обозначения
таких типов произведений часто используют угловые скобки):
в упоминавшемся выше линейном пространстве функций. Легко проверить, что (1-4) выполняются,
как следствие свойств определенных интегралов.