Определение вектора и линейные операции над векторами

Модулем (абсолютной величиной) вектора называется длина отрезка, изображающего этот вектор. Модуль обозначается $\vert{\mathbf a}\vert=a$ . Модуль вектора является скаляром. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым и обозначается как ${\mathbf 0}$ . Если модуль вектора равен нулю, а направление не определено, то можно считать, что он направлен в любую сторону.

Коллинеарными называются два ненулевых вектора, лежащих на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарные векторы ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ будем обозначать как ${\mathbf a}\parallel{\mathbf b}$ . Если неколлинеарные векторы направлены одинаково, их называют параллельными (сонаправленными) - ${\mathbf a}\uparrow\uparrow{\mathbf b}$ ; противоположно направленные коллинеарные векторы называют антипараллельными ${\mathbf a}\uparrow\downarrow{\mathbf b}$

Пусть имеется два ненулевых вектора ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ (рис.2). Из конца вектора ${\mathbf a}$ отложим вектор, равный ${\mathbf b}$ . Тогда суммой векторов ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ называется вектор, соединяющий начало вектора ${\mathbf a}$ и конец вектора ${\mathbf b}$ (правило треугольника).

Можно также использовать следующее из правила треугольника правило параллелограмма: суммой двух неколлинеарных векторов ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ называется вектор, идущий из общего начала векторов по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах (рис.3). Оба правила применимы как для коллинеарных векторов, так и в случае, когда один или два вектора являются нулевыми.

Вектор, антипараллельный данному вектору ${\mathbf a}$ и имеющий такой же модуль, называется противоположным вектору ${\mathbf a}$ и обозначается $-{\mathbf a}$ . Очевидно, что сумма противоположных векторов является нулевым вектором: ${\mathbf a}+(-{\mathbf a})={\mathbf 0}$ . Разностью ${\mathbf a}-{\mathbf b}$ векторов ${\mathbf a}$ и ${\mathbf b}$ называется сумма вектора ${\mathbf a}$ и вектора, противоположного вектору ${\mathbf b}$ : ${\mathbf a}-{\mathbf b}={\mathbf a}+(-{\mathbf b})$ . Соединим начала векторов ${\mathbf a}$ и $(-{\mathbf b})$ , тогда вектор ${\mathbf a}-{\mathbf b}$ направлен из конца вектора ${\mathbf b}$ в конец вектора ${\mathbf a}$ (рис.4).

Произведением вектора ${\mathbf a}$ на число $\lambda\ne 0$ называется вектор ${\mathbf b}$ с модулем $b=\lambda\cdot a$ , причем ${\mathbf b}\uparrow\uparrow{\mathbf a}$ при $\lambda > 0$ и ${\mathbf b}\uparrow\downarrow{\mathbf a}$ при $\lambda < 0$ . Геометрически умножение ${\mathbf a}\ne 0$ на число $\lambda\ne 0$ означает "растяжение" вектора ${\mathbf a}$ в $\lambda$ раз с сохранением направления при $\lambda > 0$ и изменением на противоположное при $\lambda < 0$ .

Из приведенных выше правил сложения векторов и умножения их на число следуют очевидные утверждения:

1. ${\mathbf a}+{\mathbf b}={\mathbf b}+{\mathbf a}$ (сложение коммутативно);

2. $({\mathbf a}+{\mathbf b})+{\mathbf c}={\mathbf a}+({\mathbf b}+{\mathbf c})$ (сложение ассоциативно);

3. ${\mathbf a}+{\mathbf 0}={\mathbf a}$ (существование нулевого вектора);

4. ${\mathbf a}+(-{\mathbf a})={\mathbf 0}$ (существование противоположного вектора);

5. $\lambda_1(\cdot\lambda_2\cdot{\mathbf a})=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot{\mathbf a}$ (сложение ассоциативно);

6. $(\lambda_1+\lambda_2)\cdot{\mathbf a}=\lambda_1\cdot{\mathbf a}+\lambda_2\cdot{\mathbf a}$ (умножение на число дистрибутивно);

7. $\lambda\cdot({\mathbf a}+{\mathbf b})=\lambda\cdot{\mathbf a} + \lambda\cdot{\mathbf b}$ (сложение векторов дистрибутивно);

В линейной алгебре множество элементов произвольной природы, на котором определены операции сложения и умножения на число, а также справедливы утверждения (1-8), называют линейным пространством, а сами элементы - векторами (в широком смысле) этого пространства. Таким образом, введенные векторы, как направленные отрезки, образуют линейное пространство.

В физике часто приходится иметь дело с такими свойствами, для определения которых, кроме их численного значения, необходимо указывать и направление в пространстве. Например, скорость, ускорение, сила, момент силы, напряженность электрического или магнитного поля и т. п. Из физического определения этих величин следует, что они являются векторами в своем линейном пространстве - для них выполняются (1-8). Эти физические величины имеют такую же "внутреннюю структуру", что и направленные отрезки. Поэтому логически непротиворечивые правила работы с такими физическими характеристиками можно изучать на примере "работы" с математическими векторами из линейного пространства. Подчеркнем, что свойства (1-8) являются определяющими для вектора. Например, поворот твердого тела на конечный угол вокруг некоторой оси можно задавать с помощью направленного отрезка ${\mathbf \alpha}$ , параллельного оси вращения и по модулю равного углу поворота. Но такой "поворот" не будет вектором, так как повороты $\alpha_1$ и $\alpha_2$ вокруг разных осей, вообще говоря, не коммутруют: $\alpha_1+\alpha_2 \ne \alpha_2+\alpha_1$ и, таким образом, свойство 1 из (1-8) не выполняется. В противоположность конечным поворотам, повороты на бесконечно малые углы являются векторами.

С другой стороны, конкретные функции из множества функций $\psi(t)$ с одной областью определения, например, $a\le t\le b$ , нельзя представить постредством направленных отрезков, но для них, тем не менее, справедливы все свойства линейного пространства, поэтому функции можно считать векторами в широком смысле.