Тема 2. Элементы теории множеств и комбинаторика
2. Операции над множествами
Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит множеству B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Следовательно, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого
(A = B Û (A Ì B и В ÌА)).
Множества не равны, если хотя бы в одном множестве существует хотя бы один элемент, не принадлежащий другому множеству.
Любая математическая дисциплина, наряду с исходными, неопределяемыми, понятиями, должна включать и "правила игры", способы работы с этими объектами. Например, числа в арифметике можно складывать и умножать: говорят, что заданы операции сложения и умножения. Далее вводятся аналогичные операции для множеств.
Объединением множеств А и В
называется множество С, состоящее из всех элементов,
принадлежащих хотя бы одному из данных множеств (т. е. либо
A, либо B, либо одновременно и A и B).
Объединение множеств обозначается символами "+" и
"U
Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6}
и B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A
U
Пример. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству Æ; в этом случае множества А и В называются непересекающимися. Пересечение множеств обозначается символами "∩" и "•" (знак умножения): С = А ∩ В или С = АВ.
Пример. Даны множества А = {-6, -3, 0, 3, 6} и
B = {0, 2, 4, 6, 8}. Тогда A ∩ B = {0, 6}.
Геометрически пересечение множеств представлено на рисунке 5.
Пример. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.
Разностью множеств А и В называется множество А\В, содержащее те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
В определении разности множеств А и В
не предполагается, что В является подмножеством множества A (Рис. 6).
Если же В подмножество A, то разность А\В называется
дополнением множества В до множества А (Рис. 7).
Для дополнения множества А до универсального множества U применяется
обозначение (Рис. 8).
Пример. Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.
Пример. Предположим, что множество U состоит из всех букв русского алфавита, A – из всех согласных, а множество B – из букв, встречающихся в слове «энциклопедия». Тогда