Задачи для самостоятельной работы

I. Найти поверхности уровня скалярных полей:

1. $\varphi({\mathbf r}) = \displaystyle{\frac{x^2}{4}}+\displaystyle{\frac{y^2}{9}}+\displaystyle{\frac{z^2}{16}}$ ;

2. $\varphi({\mathbf r}) = r^2$ ;

3. $\varphi({\mathbf r}) = \sin(x^2+y^2+z^2)$ ;

4. $\varphi({\mathbf r}) =\left({\mathbf a},{\mathbf r}\right)\quad {\mathbf a} -$ постоянный вектор;

5. $\varphi({\mathbf r})=\vert{\mathbf r}\vert$ ;

II. Построить линии уровня скалярных полей:

1. $\varphi({\mathbf r}) = x^2-y^2$ ;

2. $\varphi({\mathbf r}) = \sqrt{xy}$ ;

3. $\varphi({\mathbf r}) = \displaystyle{\frac{y^2}{x}}$ ;

4. $\varphi({\mathbf r}) = \rm {exp}\left[ \displaystyle{\frac{2x}{x^2+y^2}}\right]$ ;

III. Найти векторные линии полей в пространстве и на плоскости:

1. ${\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf i}a_1 + {\mathbf j}a_2 + {\mathbf k}a_3\quad a_i = Const$ ;

2. ${\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf i}x + {\mathbf j}y + {\mathbf k}z$ ;

3. ${\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf i}(z-y) + {\mathbf j}(x-z) + {\mathbf k}(y-x)$ ;

4. ${\mathbf A}({\mathbf r}) = \displaystyle{\frac{{\mathbf i}}{x}} + \displaystyle{\frac{{\mathbf j}}{y}} + \displaystyle{\frac{{\mathbf k}}{z}}$ ;

5. ${\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf i}x + {\mathbf j}2y$ ;

6. ${\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf i}x^2 + {\mathbf j}y^2$ ;

7. ${\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf j}z - {\mathbf k}y$ ;

8. ${\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf i}x + {\mathbf k}z$ ;