Векторное поле. Векторные линии

2. Скалярные и векторные поля

2.6 Векторное поле. Векторные линии

Определение поля можно распространить и на векторные величины. Тогда: - если в каждой точке пространства М, принадлежащей некоторой области трехмерного пространства задать вектор ${\mathbf A}(M)$ , то таким образом будет задано векторное поле.Вектор ${\mathbf A}(M)$ (рис. 16) называется вектором поля.

Рис.16. К определению векторного поля.

Примером векторного поля является поле сил тяготения, возникающее в пространстве вокруг материального тела. При этом на пробное тело будет действовать сила, величина и направление которой будет зависеть от положения этого пробного тела в пространстве.

При произвольном течении жидкости скорости частиц в общем случае также будут зависеть от их пространственного положения, образуя, следовательно, векторное поле. Векторное поле является векторной функцией векторного аргумента.

$\displaystyle {\mathbf A} = {\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf A}(M).$

(62)

Если в области определения векторного поля ввести декартову систему координат, то вектор поля можно разложить по ортам ${\mathbf i}$ , ${\mathbf j}$ , ${\mathbf k}$ :

$\displaystyle {\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf i}A_x({\mathbf r}) + {\mathbf j}A_y({\mathbf r}) + {\mathbf k}A_z({\mathbf r}),$

(63)

при этом $A_i({\mathbf r})=A_i(x,y,z),\; i=x,y,z$ . Таким образом, задание векторного поля в системе координат означает задание трех независимых функций трех переменных.

Будем считать, что все функции

непрерывны и дифференцируемы, что обычно выполняется в физических приложениях теории поля. Отдельные точки, где эти условия не выполнены (т. е. вектор поля не определен или испытывает скачки), называются особыми и требуют специального рассмотрения. Геометрической характеристкой векторного поля являются векторные линии, т.е. кривые, в любой точке которых касательная к ним совпадает с вектором поля ${\mathbf A}({\mathbf r})$ (рис. 17). Например, в случае стационарного течения жидкости векторные линии можно рассматривать как траектории движения частиц жидкости, а количество линий будет пропорционально числу частиц.

Рис.17 К определению векторных линий.

Чтобы получить уравнение векторных линий, будем рассматривать сами линии как годограф некоторой вектор-функции ${\mathbf r}(t)$ скалярного аргумента. Тогда вектор $d{\mathbf r}$ будет направлен по касательной к векторной линии в точке с радиус-вектором ${\mathbf r}$ (рис. 17). Следовательно, он будет пропорционален вектору поля в этой точке:

$\displaystyle d{\mathbf r} = \lambda {\mathbf A},$

(64)

где $\lambda$ - некоторый коэффициент пропорциональности.В системе координат

$\displaystyle dx = \lambda A_x(x,y,z),\quad dy = \lambda A_y(x,y,z),\quad dz = \lambda A_z(x,y,z).$

(65)

Исключив из (65) $\lambda$ , получим систему

$\displaystyle \displaystyle{\frac{dx}{A_x(x,y,z)}}=\displaystyle{\frac{dy}{A_y(x,y,z)}}=\displaystyle{\frac{dz}{A_z(x,y,z)}},$

(66)

которая называется системой дифференциалных уравнений векторных линий. Независимых уравнений в этой системе только два и общее решение может быть представлено в виде:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} f_1(x,y,z) = C_1,\\ f_2(x,y,z) = C_2, \end{array} \right.$

(67)

и каждая векторная линия, таким образом, будет линией пересечения двух поверхностей

Пример 2-5. Построить векторные линии поля ${\mathbf A}({\mathbf r})=\left[{\mathbf a},{\mathbf r}\right]$ , где ${\mathbf a}$ - постоянный вектор, направленный вдоль оси

, ${\mathbf a}={\mathbf k}a$ .

Решение. Согласно правилу вычисления векторного произведения в декартовой системе координат, компоненты поля ${\mathbf A}$ имеют вид:

$\displaystyle {\mathbf A}=\left\vert\left\vert \begin{array}{ccc} {\mathbf i} &... ...hbf i}(-ay)+{\mathbf j} ax;\quad \Longrightarrow\quad A_x = -ay,\quad A_y = ax$

и уравнение векторных линий (66) принимает вид

$\displaystyle -\displaystyle{\frac{dx}{ay}} = \displaystyle{\frac{dy}{ax}} = \displaystyle{\frac{dz}{0}}$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} xdx + ydy = 0 \\ dz = 0, \end{array}\right.$ откуда $\displaystyle \qquad \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = C_1 \\ z = C_2\ . \end{array}\right.$

Полученная система определяет два семейства поверхностей: цилиндры с направляющей, параллельно оси

и плоскости, перпендикулярные оси

, следовательно, векторные линии поля ${\mathbf A}({\mathbf r})=\left[{\mathbf a},{\mathbf r}\right]$ имеют вид окружностей, лежащих в плоскости

. Вид этого семейства для значения

представлен на рис. 2.8.

Рис.2.8. Векторные линии.

Пример 2-6. Построить силовые линии электрического плоского диполя с моментом ${\mathbf p}\vert\vert Y$ .

Решение. Напряженность поля плоского диполя имеет вид ${\mathbf E}({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{{\mathbf p}}{r^2}}-\displaystyle{\frac{2\left({\mathbf p},{\mathbf r}\right){\mathbf r}}{r^4}}$ . Так как ${\mathbf r}={\mathbf i}x + {\mathbf j}y$ , ${\mathbf p}={\mathbf j}p$ , то выражение для вектора поля в декартовой можно записать как

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccl} {\mathbf E}({\mathbf r})& = & \displaysty... ...}{r^4}} \right] = {\mathbf i}E_x + {\mathbf j}E_y \end{array} \end{displaymath}$

и тогда уравнение векторных линий

$\displaystyle -\displaystyle{\frac{dx}{2xy}} = \displaystyle{\frac{dy}{y^2-x^2}}.$

После разделения переменных получим

$\displaystyle 2xy\displaystyle{\frac{dy}{dx}} + y^2 = x^2.$

Полученное уравнение после замены $ y^2=t$

сводится к неоднородному уравнению Эйлера, общее решение которого имеет вид

$\displaystyle y^2 = Cx - x^2\ .$

Для удобства построения преобразуем решение:

$\displaystyle \left[ x+\displaystyle{\frac{1}{2}}C \right]^2 + y^2 = \left[\displaystyle{\frac{1}{2}}C \right]^2 .$

Таким образом, векторные линии поля ${\mathbf E}({\mathbf r})$ представляют собой семейство окружностей, касающихся друг друга в начале координат (рис. 2.9). Если сравнить картину силовых линий поля ${\mathbf E}({\mathbf r})$ с линиями уровня скалярного поля $\varphi$ , рис. 2.5, то видно, что рис. 2.9 отличается лишь поворотом на угол $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$ . В действительности далее будет показано, что эти два поля связаны между собой.

Рис.2.9. Векторные линии поля плоского диполя.

Пример 2-7. Построить силовые линии электрического поля системы из двух зарядов

, расстояние между которыми равно

Решение. Поместим начало системы координат в середину отрезка, соединяющего заряды и лежащего на оси

(рис. 2.10). Так как система зарядов обладает осью симметрии, то картина силовых линий будет одинаковой в любой плоскости, проходящей через ось

. Рассмотрим плоскость

. Напряженность поля точечного заряда определяется выражением ${\mathbf E}({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{q{\mathbf r}}{r^3}}$ , где ${\mathbf r}$ - радиус-вектор, проведенный из точки, где расположен заряд, в точку наблюдения. Тогда, в настоящей задаче выражение для суммарного поля двух зарядов запишется в виде

$\displaystyle {\mathbf E}({\mathbf r})= \displaystyle{\frac{q{\mathbf r}_1}{r_1... ...left[ \displaystyle{\frac{y}{r_1^3}} - \displaystyle{\frac{y}{r_2^3}} \right].$

Рис.2.10. К примеру 2-7.

Тогда, уравнение векторных линий в плоскости

будет иметь вид:

$\displaystyle \displaystyle{\frac{dz}{(z-a)r_2^3-(z+a)r_1^3}} = \displaystyle{\frac{dy}{yr_2^3-yr_1^3}}.$

В полученном уравнении можно разделить переменные, если ввести замену

$\displaystyle u=\displaystyle{\frac{z+a}{y}},\qquad\qquad v=\displaystyle{\frac{z-a}{y}}\ .$

Учитывая, что $dz = 2a\displaystyle{\frac{udv-vdu}{(u-v)^2}}, dy = 2a\displaystyle{\frac{dv-du}{(u-v)^2}},$ получим дифференциальное уравнение

$\displaystyle \displaystyle{\frac{udv - vdu}{v(1+u^2)^{3/2}-v(1+u^2)^{3/2}}} = \displaystyle{\frac{dv-du}{(1+u^2)^{3/2}-(1-u^2)^{3/2}}}.$

После алгебраических преобразований

$\displaystyle (1+u^2)^{3/2}dv = (1+v^2)^{3/2}du$

и интегрирования

$\displaystyle \int \displaystyle{\frac{du}{(1+u^2)^{3/2}}} = \int \displaystyle{\frac{dv}{(1+v^2)^{3/2}}} + C,$

$\displaystyle u(1+u^2)^{-3/2} = v(1+v^2)^{-3/2} + C.$

Возвращаясь к переменным

$\displaystyle (z+a)[(z+a)^2+y^2]^{-1/2} - (z-a)[(z-a)^2+y^2]^{-1/2} = C$

Полученное уравнение определяет семейство кривых (силовых линий) в плоскости

(рис. 2.11).

Рис.2.11. Силовые линия поля двух точечных зарядов.


			Содержание