2. Скалярные и векторные поля
2.6 Векторное поле. Векторные линии
Определение поля можно распространить и на векторные величины. Тогда:
-
если в каждой точке пространства М, принадлежащей некоторой области трехмерного
пространства задать вектор
, то таким образом будет задано векторное поле.Вектор
![$ {\mathbf A}(M)$](img432.png)
(рис.
16) называется вектором поля.
Рис.16. К определению векторного поля.
Примером векторного поля является поле сил тяготения, возникающее в пространстве вокруг
материального тела. При этом на пробное тело будет действовать сила, величина и направление
которой будет зависеть от положения этого пробного тела в пространстве.
При произвольном течении жидкости скорости частиц в общем случае также будут зависеть от
их пространственного положения, образуя, следовательно, векторное
поле. Векторное поле является векторной функцией векторного аргумента.
![$\displaystyle {\mathbf A} = {\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf A}(M).$](img434.png) |
(62) |
Если в области определения векторного поля ввести декартову систему координат, то вектор поля
можно разложить по ортам
![$ {\mathbf i}$](img135.png)
,
![$ {\mathbf j}$](img136.png)
,
![$ {\mathbf k}$](img137.png)
:
![$\displaystyle {\mathbf A}({\mathbf r}) = {\mathbf i}A_x({\mathbf r}) + {\mathbf j}A_y({\mathbf r}) + {\mathbf k}A_z({\mathbf r}),$](img435.png) |
(63) |
при этом
![$ A_i({\mathbf r})=A_i(x,y,z),\; i=x,y,z$](img436.png)
. Таким образом,
задание векторного поля
в системе координат означает задание трех независимых функций трех переменных.
Будем считать, что все функции
![$ A_i(x,y,z)$](img437.png)
непрерывны и дифференцируемы, что обычно выполняется
в физических приложениях теории поля. Отдельные точки, где эти условия не выполнены (т. е. вектор
поля не определен или испытывает скачки), называются
особыми и требуют специального
рассмотрения.
Геометрической характеристкой векторного поля являются
векторные линии, т.е. кривые, в
любой точке которых касательная к ним совпадает с вектором поля
![$ {\mathbf A}({\mathbf r})$](img439.png)
(
рис. 17).
Например, в случае стационарного течения жидкости векторные линии можно рассматривать как
траектории движения частиц жидкости, а количество линий будет пропорционально числу частиц.
Рис.17 К определению векторных линий.
Чтобы получить уравнение векторных линий, будем рассматривать сами линии как годограф некоторой
вектор-функции
![$ {\mathbf r}(t)$](img370.png)
скалярного аргумента. Тогда вектор
![$ d{\mathbf r}$](img440.png)
будет направлен по
касательной к векторной линии в точке с радиус-вектором
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
(
рис. 17). Следовательно, он
будет пропорционален вектору поля в этой точке:
![$\displaystyle d{\mathbf r} = \lambda {\mathbf A},$](img441.png) |
(64) |
где
![$ \lambda$](img31.png)
- некоторый коэффициент пропорциональности.В системе координат
![$\displaystyle dx = \lambda A_x(x,y,z),\quad dy = \lambda A_y(x,y,z),\quad dz = \lambda A_z(x,y,z).$](img442.png) |
(65) |
Исключив из (
65)
![$ \lambda$](img31.png)
, получим систему
![$\displaystyle \displaystyle{\frac{dx}{A_x(x,y,z)}}=\displaystyle{\frac{dy}{A_y(x,y,z)}}=\displaystyle{\frac{dz}{A_z(x,y,z)}},$](img443.png) |
(66) |
которая называется системой дифференциалных уравнений векторных линий. Независимых
уравнений в этой системе только два и общее решение может быть представлено в виде:
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} f_1(x,y,z) = C_1,\\ f_2(x,y,z) = C_2, \end{array} \right.$](img444.png) |
(67) |
и каждая векторная линия, таким образом, будет линией пересечения двух поверхностей
![$ f_1$](img445.png)
и
Пример 2-5. Построить векторные линии поля
![$ {\mathbf A}({\mathbf r})=\left[{\mathbf a},{\mathbf r}\right]$](img447.png)
, где
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
-
постоянный вектор, направленный вдоль оси
![$ z$](img379.png)
,
![$ {\mathbf a}={\mathbf k}a$](img448.png)
.
Решение. Согласно правилу вычисления векторного произведения в декартовой системе координат,
компоненты поля
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
имеют вид:
и уравнение векторных линий (
66) принимает вид
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}
xdx + ydy = 0 \\
dz = 0,
\end{array}\right.$](img451.png)
откуда
Полученная система определяет два семейства поверхностей: цилиндры с направляющей, параллельно
оси
![$ z$](img379.png)
и плоскости, перпендикулярные оси
![$ z$](img379.png)
, следовательно, векторные линии поля
![$ {\mathbf A}({\mathbf r})=\left[{\mathbf a},{\mathbf r}\right]$](img447.png)
имеют вид окружностей, лежащих в плоскости
![$ XY$](img454.png)
. Вид этого
семейства для значения
![$ C_2=0$](img455.png)
представлен на
рис. 2.8.
Рис.2.8. Векторные линии.
Пример 2-6. Построить силовые линии электрического плоского диполя с моментом
![$ {\mathbf p}\vert\vert Y$](img456.png)
.
Решение. Напряженность поля плоского диполя имеет вид
![$ {\mathbf E}({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{{\mathbf p}}{r^2}}-\displaystyle{\frac{2\left({\mathbf p},{\mathbf r}\right){\mathbf r}}{r^4}}$](img457.png)
. Так как
![$ {\mathbf r}={\mathbf i}x + {\mathbf j}y$](img426.png)
,
![$ {\mathbf p}={\mathbf j}p$](img458.png)
, то выражение для вектора поля в декартовой
можно записать как
и тогда уравнение векторных линий
После разделения переменных получим
Полученное уравнение после замены
![$ y^2=t$](img462.png)
сводится к неоднородному уравнению Эйлера,
общее решение которого имеет вид
Для удобства построения преобразуем решение:
Таким образом, векторные линии поля
![$ {\mathbf E}({\mathbf r})$](img466.png)
представляют собой семейство окружностей,
касающихся друг друга в начале координат (
рис. 2.9). Если сравнить картину силовых линий поля
![$ {\mathbf E}({\mathbf r})$](img466.png)
с линиями уровня скалярного поля
![$ \varphi$](img357.png)
, рис. 2.5, то видно, что
рис. 2.9 отличается лишь поворотом на угол
![$ \displaystyle{\frac{\pi}{2}}$](img467.png)
. В действительности далее будет показано,
что эти два поля связаны между собой.
Рис.2.9. Векторные линии поля плоского диполя.
Пример 2-7. Построить силовые линии электрического поля системы из двух зарядов
![$ q$](img468.png)
и
![$ -q$](img469.png)
,
расстояние между которыми равно
![$ 2a$](img470.png)
.
Решение. Поместим начало системы координат в середину отрезка, соединяющего заряды и лежащего на
оси
![$ z$](img379.png)
(
рис. 2.10). Так как система зарядов обладает осью симметрии, то картина силовых линий
будет одинаковой в любой плоскости, проходящей через ось
![$ z$](img379.png)
. Рассмотрим плоскость
![$ x=0$](img471.png)
.
Напряженность поля точечного заряда определяется выражением
![$ {\mathbf E}({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{q{\mathbf r}}{r^3}}$](img472.png)
, где
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
- радиус-вектор, проведенный из точки,
где расположен заряд, в точку наблюдения. Тогда, в настоящей задаче выражение для суммарного
поля двух зарядов запишется в виде
![](2_11.png)
a
Тогда, уравнение векторных линий в плоскости
![$ (zy)$](img475.png)
будет иметь вид:
В полученном уравнении можно разделить переменные, если ввести замену
Учитывая, что
![$ dz = 2a\displaystyle{\frac{udv-vdu}{(u-v)^2}},
dy = 2a\displaystyle{\frac{dv-du}{(u-v)^2}},
$](img478.png)
получим дифференциальное уравнение
После алгебраических преобразований
и интегрирования
Возвращаясь к переменным
![$ x,y$](img484.png)
,
Полученное уравнение определяет семейство кривых (силовых линий) в плоскости
![$ (zy)$](img475.png)
(рис. 2.11).
Рис.2.11. Силовые линия поля двух точечных зарядов.