2. Скалярные и векторные поля
2.5 Скалярное поле. Поверхности и линии уровня
Рассмотрим в 3-х мерном пространстве некоторую область. Если в каждой точке
![$ M$](img149.png)
этой области
задать число (скаляр)
![$ \varphi$](img357.png)
, то говорят, что задано
скалярное поле ![$ \varphi$](img357.png)
. Согласно
такому определению, скалярное поле является функцией точки. Так как положение точки
![$ M$](img149.png)
можно характеризовать ее радиус-вектором
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
, то задание поля
будет означать, что установлено соответствие между
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
и
![$ \varphi$](img357.png)
. Таким образом, поле можно
рассматривать как функцию векторного аргумента
![$ \varphi(M) = \varphi({\mathbf r})$](img409.png)
(рис.
13).
Рис.13. К определению скалярного поля
Если в области определения поля ввести декартову систему координат, то
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
можно представить
как упорядоченную тройку чисел
![$ {\mathbf r} = {\mathbf i}x + {\mathbf j}y + {\mathbf k}z$](img411.png)
и тогда задание поля
будет эквивалентно заданию функции трех переменных
![$ \varphi({\mathbf r})\equiv\varphi(x,y,z)$](img412.png)
. В
дальнейшем будем считать эту функцию непрерывной и дифференцируемой.
Как известно, функцию одной переменной можно рассматривать как уравнение кривой на плоскости
![$ y=f(x)$](img413.png)
, двух переменных - как поверхность
![$ z=f(x,y)$](img414.png)
. Представить аналогичный "график" в случае поля
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
затруднительно, поэтому для наглядной характеристики поля
используют
поверхности уровня.
Поверхностью уровня поля
называют геометрическое место точек, в которых поле
принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня
будет иметь вид:
или![$\displaystyle \qquad \varphi(x,y,z) = C.$](img418.png) |
(61) |
Уравнение (
61) является уравнением поверхности, что объясняет соответствующее
название. Придавая
![$ C$](img419.png)
различные значения, можно получить наглядное представление о том, как
величина
![$ \varphi$](img357.png)
распределена в пространстве. При этом, если в некоторой области поле изменяется
быстро, поверхности уровня будут сближаться. Пересекаться они не могут, за исключением одной
точки.
Рис.14. Поверхности уровня скалярного поля.
Пример 2-2. Рассмотрим поле вида
![$ \varphi({\mathbf r})=\vert{\mathbf r}\vert$](img421.png)
(или просто
![$ \varphi({\mathbf r})=r$](img422.png)
).
Уравнение (
61) принимает вид:
Так как
![$ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$](img241.png)
, то
и, таким образом, поверхностями уровня поля
![$ \varphi({\mathbf r})=r$](img422.png)
будет семейство концентрических
сфер с центром в начале координат (рис.
14).
Пример 2-3. Построить линии уровня плоского поля
![$ \varphi({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{\left({\mathbf p},{\mathbf r}\right)}{r^2}}$](img425.png)
,
где
![$ {\mathbf r}={\mathbf i}x + {\mathbf j}y$](img426.png)
,
![$ {\mathbf p}={\boldsymbol j}p$](img427.png)
,
![$ p=Const$](img428.png)
(2-х мерный аналог потенциала
электрического диполя).
Решение. Уравнение линий уровня имеет вид:
Рис.15. Линии уровня плоского поля.
Для различных значений
![$ C$](img419.png)
получается семейство окружностей с единственной общей точкой в начале
координат (рис.
15). В левой полуплоскости значения поля положительно, в правой - отрицательно,
а в точке
![$ {\mathbf r}=0$](img431.png)
поле имеет особенность и неопределено.