Скалярное поле. Поверхности и линии уровня

Рассмотрим в 3-х мерном пространстве некоторую область. Если в каждой точке

этой области задать число (скаляр) $\varphi$ , то говорят, что задано скалярное поле $\varphi$ . Согласно такому определению, скалярное поле является функцией точки. Так как положение точки

можно характеризовать ее радиус-вектором ${\mathbf r}$ , то задание поля будет означать, что установлено соответствие между ${\mathbf r}$ и $\varphi$ . Таким образом, поле можно рассматривать как функцию векторного аргумента $\varphi(M) = \varphi({\mathbf r})$ (рис. 13).

Если в области определения поля ввести декартову систему координат, то ${\mathbf r}$ можно представить как упорядоченную тройку чисел ${\mathbf r} = {\mathbf i}x + {\mathbf j}y + {\mathbf k}z$ и тогда задание поля будет эквивалентно заданию функции трех переменных $\varphi({\mathbf r})\equiv\varphi(x,y,z)$ . В дальнейшем будем считать эту функцию непрерывной и дифференцируемой.

Как известно, функцию одной переменной можно рассматривать как уравнение кривой на плоскости

, двух переменных - как поверхность

. Представить аналогичный "график" в случае поля $\varphi({\mathbf r})$ затруднительно, поэтому для наглядной характеристики поля используют поверхности уровня.

Поверхностью уровня поля ${\boldsymbol \varphi}$ называют геометрическое место точек, в которых поле принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня будет иметь вид:

Уравнение (61) является уравнением поверхности, что объясняет соответствующее название. Придавая

различные значения, можно получить наглядное представление о том, как величина $\varphi$ распределена в пространстве. При этом, если в некоторой области поле изменяется быстро, поверхности уровня будут сближаться. Пересекаться они не могут, за исключением одной точки.

Пример 2-2. Рассмотрим поле вида $\varphi({\mathbf r})=\vert{\mathbf r}\vert$ (или просто $\varphi({\mathbf r})=r$ ). Уравнение (61) принимает вид:

Так как $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , то

и, таким образом, поверхностями уровня поля $\varphi({\mathbf r})=r$ будет семейство концентрических сфер с центром в начале координат (рис. 14).

Пример 2-3. Построить линии уровня плоского поля $\varphi({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{\left({\mathbf p},{\mathbf r}\right)}{r^2}}$ , где ${\mathbf r}={\mathbf i}x + {\mathbf j}y$ , ${\mathbf p}={\boldsymbol j}p$ ,

(2-х мерный аналог потенциала электрического диполя).

Решение. Уравнение линий уровня имеет вид:

Для различных значений

получается семейство окружностей с единственной общей точкой в начале координат (рис. 15). В левой полуплоскости значения поля положительно, в правой - отрицательно, а в точке ${\mathbf r}=0$ поле имеет особенность и неопределено.