5. Основы тензорного анализа

Ковариантность тензорных уравнений 5.5. Тензорная алгебра Симметричные и антисимметричные тензоры

Ковариантность тензорных уравнений 5.5.1. Тензорная алгебра. Сложение тензоров. Симметричные и антисимметричные ...

Пусть заданы тензоры $ A$ и $ B$ одинакового ранга, тогда величина $ C$, построенная по правилу
$\displaystyle C_{i...n} = A_{i...n} + B_{i...n}\ ,$ (272)
называется суммой тензоров $ A$ и $ B$и является также тензором ранга$ n$ . Для доказательства второго утверждения вычислим значения $ C$в системе$ K'$ . Тогдa
$\displaystyle C'_{i...n} = (A'_{i...n}+B'_{i...n}) = \alpha_{ii'}...\alpha_{nn'} (A_{i'...n'}+B_{i'...n'})\ ,$ (273)
и с учетом определения(272)
$\displaystyle C'_{i...n} = \alpha_{ii'}...\alpha_{nn'} C_{i'...n'}.$ (274)

Ковариантность тензорных уравнений 5.5.2. Тензорная алгебра. Умножение тензоров. Симметричные и антисимметричные ...

Пусть даны два тензора$ A$ (ранга$ n$) и $ B$ (ранга $ m$). Тогда, величина $ C$, образованная из компонент тензоров $ A$ и $ B$, по правилу
$\displaystyle C_{i_1...i_n j_1...j_m} = A_{i_1...i_n}\cdot B_{j_1...j_m}$ (275)

называется произведением тензоров $ A$ и $ B$ и является тензором ранга $ (n+m)$. Вычислим $ C$ в системе$ K'$. Тогда
\begin{displaymath}\begin{array}{ccl} C'_{i_1...i_n j_1...j_m} & = & A'_{i_1...i... ...1}...\alpha_{j_mj'_m} C_{i'_1...i'_nj'_1...j'_m}\ . \end{array}\end{displaymath} (276)

Ковариантность тензорных уравнений 5.5.3. Тензорная алгебра. Свертка тензоров. Симметричные и антисимметричные ...

Пусть задан тензор $ A$ ранга $ n$ с компонентами $ A_{i_1...i_\alpha...i_\beta...i_n}$. Сверткой тензора $ A$ называется суммирование компонент по каким-либо парам индексов
$\displaystyle A_{i_1...i_\alpha...i_\alpha...i_n} = \displaystyle{\sum\limits_{\alpha}^{}} A_{i_1...i_\alpha...i_\alpha...i_n}\ .$ (277)
Выполняя сверки по различным парам индексов, можно получать новые тензоры, ранг которых будет уменьшаться на 2 единицы от "сворачивания" каждой пары индексов. Для примера рассмотрим свертку тензора 3-го ранга, т. е. $ A_{ijj}$, и вычислим его значения в системе $ K'$. Тогда
$\displaystyle A'_{ijj} = \alpha_{im}\alpha_{jn}\alpha_{jk}A_{mnk} =\alpha_{im} \delta_{nk} A_{mnk} = \alpha_{im} A_{mkk}$ (278)
и свертка $ A_{ijj}$ пребразуется как тензор ранга $ 1=3-2$.
Векторный анализ в криволинейных координатах Литература
Ковариантность тензорных уравнений   Содержание   Симметричные и антисимметричные ...