5. Основы тензорного анализа
5.5.1. Тензорная алгебра. Сложение тензоров.
Пусть заданы тензоры
![$ A$](img1088.png)
и
![$ B$](img1117.png)
одинакового ранга, тогда величина
![$ C$](img419.png)
, построенная по
правилу
называется суммой тензоров
![$ A$](img1088.png)
и
![$ B$](img1117.png)
и является также тензором ранга
![$ n$](img4.png)
. Для доказательства второго утверждения вычислим значения
![$ C$](img419.png)
в системе
![$ K'$](img1113.png)
. Тогдa
5.5.2. Тензорная алгебра. Умножение тензоров.
Пусть даны два тензора
![$ A$](img1088.png)
(ранга
![$ n$](img4.png)
) и
![$ B$](img1117.png)
(ранга
![$ m$](img254.png)
). Тогда, величина
![$ C$](img419.png)
, образованная из компонент тензоров
![$ A$](img1088.png)
и
![$ B$](img1117.png)
, по правилу
![$\displaystyle C_{i_1...i_n j_1...j_m} = A_{i_1...i_n}\cdot B_{j_1...j_m}$](img1121.png) |
(275) |
называется
произведением тензоров
![$ A$](img1088.png)
и
![$ B$](img1117.png)
и является тензором ранга
![$ (n+m)$](img1122.png)
. Вычислим
![$ C$](img419.png)
в системе
![$ K'$](img1113.png)
. Тогда
![\begin{displaymath}\begin{array}{ccl} C'_{i_1...i_n j_1...j_m} & = & A'_{i_1...i...
...1}...\alpha_{j_mj'_m} C_{i'_1...i'_nj'_1...j'_m}\ . \end{array}\end{displaymath}](img1123.png) |
(276) |
5.5.3. Тензорная алгебра. Свертка тензоров. ![Симметричные и антисимметричные ...](ARROWS/right_small.gif)
Пусть задан тензор
![$ A$](img1088.png)
ранга
![$ n$](img4.png)
с компонентами
![$ A_{i_1...i_\alpha...i_\beta...i_n}$](img1124.png)
.
Сверткой тензора
![$ A$](img1088.png)
называется суммирование компонент по каким-либо парам индексов
![$\displaystyle A_{i_1...i_\alpha...i_\alpha...i_n} = \displaystyle{\sum\limits_{\alpha}^{}} A_{i_1...i_\alpha...i_\alpha...i_n}\ .$](img1125.png) |
(277) |
Выполняя сверки по различным парам индексов, можно получать новые тензоры, ранг которых
будет уменьшаться на 2 единицы от "сворачивания" каждой пары индексов. Для примера рассмотрим
свертку тензора 3-го ранга, т. е.
![$ A_{ijj}$](img1126.png)
, и вычислим его значения в системе
![$ K'$](img1113.png)
. Тогда
![$\displaystyle A'_{ijj} = \alpha_{im}\alpha_{jn}\alpha_{jk}A_{mnk} =\alpha_{im} \delta_{nk} A_{mnk} = \alpha_{im} A_{mkk}$](img1127.png) |
(278) |
и свертка
![$ A_{ijj}$](img1126.png)
пребразуется как тензор ранга
![$ 1=3-2$](img1128.png)
.