5. Основы тензорного анализа
5.6. Симметричные и антисимметричные тензоры ![Признак тензорности величины](ARROWS/right_small.gif)
Тензор ранга
![$ n$](img4.png)
называется
симметричным или
антисимметричным
по каким-либо индексам, если имеет место следующее соотношение:
где знак "
![$ +$](img1130.png)
" в (
279) отвечает симметричному, а "
![$ -$](img1131.png)
" антисимметричному тензору.
Свойство:
симметрия тензоров не зависит от выбора координатной системы. Действительно
пусть в системе
![$ K$](img1108.png)
задан симметричный тензор 2-го ранга, т. е.
![$ A_{ik}=A_{ki}$](img1132.png)
. Тогда, переходя
в систему
![$ K'$](img1113.png)
,получим
Пример 5-1. Рассмотрим произвольный тензор ранга 2 -
![$ T_{ik}$](img1098.png)
и построим симметричный тензор
с компонентами
Тогда, очевидно, что тензор
![$ T$](img1136.png)
2-го ранга может быть представлен в виде суммы симметричного
и антисимметричного тензоров как
Для тензоров высших рангов возможно аналогичное построение, при этом, однако, будет получаться
большее число новых тензоров, которые не обязательно будут полностью симметричными или
антисимметричными.
Пример 5-2. Свертка тензорного выражения по паре "симметричных" и "антисимметричных индексов" дает ноль. Действительно, рассмотрим тензор 4-го ранга, построенный из симметричного и антисимметричного тензоров как
![$ T_{ijkl}=S_{ik}A_{kl}$](img1138.png)
и вычислим его свертку
![$ T_{ikik}$](img1139.png)
,
тогда