5. Основы тензорного анализа

Симметричные и антисимметричные тензоры 5.7. Признак тензорности величины Псевдотензоры


Если величина $ T_{ik}A_iB_k$ является скаляром, а $ A_i$ и $ B_k$ - компоненты векторов, то $ T$ является тензором второго ранга.
Доказательство: так как $ T_{ik}A_iB_k$ - скаляр, то в другой системе координат его значение не меняется $ T'_{ik}A'_iB'_k = T_{ik}A_iB_k$, но поскольку $ A'_i=\alpha_{ij}A_j$ и $ B'_k=\alpha_{km}A_m$, то
$\displaystyle T'_{ik} A'_i B'_k = \alpha_{ij}\alpha_{km} T'_{ik} A_j A_m = T_{jm}A_jB_m. $
Тогда имеем
$\displaystyle \left( \alpha_{ij}\alpha_{km} T'_{ik} - T_{jm} \right) A_j B_m = 0 $
и отсюда, в силу независимости набора величин $ A_jB_m$, получаем, что
$\displaystyle T_{jm} = \alpha_{ij}\alpha_{km} T'_{ik}, $
т. е. закон преобразования компонент тензора второго ранга.
Векторный анализ в криволинейных координатах Литература
Симметричные и антисимметричные тензоры   Содержание   Псевдотензоры