Функции скалярного и векторного аргумента

В обычном анализе основным является понятие функции, т. е. закона, устанавливающего соответствие между элементами двух множеств: значений аргумента $\{x\}$ и значений функции $\{y\}$ . Это соответствие обычно обозначается следующим образом:

Обобщение функции одной переменной на числовую функцию

переменных состоит в том, чтобы рассматривать в качестве аргумента не одно число, а упорядоченный набор

чисел $\{x_1, x_2,\dots, x_n\}$ , в соответствие которому поставить значение функции

Можно расширить множество значений аргумента и функции и включить в них, помимо чисел, множество векторов. В этом случае установление соответствия между элементами таких множеств позволяет определить три новых типа функций:

Если в соответствие скаляру ставится вектор ${\mathbf A}$ , тогда будет задана вектор-функция скалярного аргумента ${\mathbf A}={\mathbf A}(t)$ ;
Если аргумент вектор $\{{\mathbf r}\}$ , а значение скаляр $\varphi$ - то задана скалярная функция векторного аргумента $\varphi = \varphi({\mathbf r})$ ;
Наконец, соответствие вектор $\{{\mathbf r}\}$ $\longrightarrow$ вектор $\{{\mathbf A}\}$ задает векторную функцию векторного аргумента.

Вектор ${\mathbf r}$ называется радиус-вектором и определяет точку пространства, в которой задаются значения функций векторного аргумента.

Существует одно важное отличие перечисленных множеств векторов (1)-(3). В случае (1) значения функции не зависят от пространственного положения начала вектора. Такие векторы называются свободными и их можно привести к общему началу. Для случая (3) этого сделать нельзя, поэтому такие векторы называются связанными.

В заключение следует отметить, что использование вектора как единой, самостоятельной величины, позволяет использовать в анализе основное преимущество векторного исчисления - возможность описания безотносительно к координатным системам, что оказывается очень важным для физических приложений. Поэтому в дальнейшем все рассуждения будут строиться на основе именно этого принципа.