2. Скалярные и векторные поля
2.2 Вектор-функция скалярного аргумента. Производная
Пусть множество значений вектор-функции скалярного аргумента
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
приведено к общему
началу в точке 0. Совместим с этой точкой начало декартовой системы координат. Тогда для
любого
![$ t$](img354.png)
вектор
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
может быть разложен по ортам
![$ ({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k})$](img169.png)
:
![$\displaystyle {\mathbf A}(t) = {\mathbf i}A_x(t) + {\mathbf j}A_y(t) + {\mathbf k}A_z(t).$](img362.png) |
(46) |
Таким образом, задание вектор-функции скалярного аргумента означает задание трех
скалярных функций
![$ A_i(t), i=x,y,z$](img363.png)
. В этом случае говорят, что вектор-функция задана
в декартовой системе координат. (Здесь и далее предполагается, что в сокращенной записи
с использованием индексных обозначений
![$ {\mathbf e}_1\equiv{\mathbf i}$](img364.png)
,
![$ {\mathbf e}_2\equiv{\mathbf j}$](img365.png)
,
![$ {\mathbf e}_3\equiv{\mathbf k}$](img366.png)
и соответственно
![$ A_x\equiv A_1$](img367.png)
,
![$ A_y\equiv A_2$](img368.png)
,
![$ A_y\equiv A_3$](img369.png)
,
а также используется правило Эйнштейна суммирования по "немым" индексам).
При изменении значения аргумента
![$ t$](img354.png)
конец вектора
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
будет описывать в пространстве
кривую, которая называется
годографом вектора
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
. Например, в
механике, годографом радиус-вектора
![$ {\mathbf r}(t)$](img370.png)
будет траектория движения. Согласно (
46)
уравнения годографа можно получить исключением
![$ t$](img354.png)
изуравнений
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll} x = A_x(t)\\ y = A_y(t)\\ z = A_z(t),\\ \end{array} \right.$](img371.png) |
(47) |
что приводит в общем случае к системе уравнений вида:
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \varphi_1(x,y,z) = 0\\ [0.5em] \varphi_2(x,y,z) = 0, \end{array} \right.$](img372.png) |
(48) |
которая определяет годограф, как линию пересечения двух поверхностей, уравнения которых
заданы функциями
![$ \varphi_1$](img373.png)
,
![$ \varphi_2$](img374.png)
.
Пример 2-1. Определить годограф вектор-функции
![$ {\mathbf A}(t)={\mathbf i}\sin(t) + {\mathbf j}\cos(t) - {\mathbf k}\cos(t)$](img376.png)
.
Решение. Исключим параметр
![$ t$](img354.png)
из системы уравнений:
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{lll} x = \sin(t)\\ y = \cos(t)\\ z =-\cos(t),\\ \end{array} \right.$](img377.png) |
(49) |
например, как
![$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} x^2+y^2 = 1\\ y+z = 0.\\ \end{array} \right.$](img378.png) |
(50) |
Первое уравнение определяет круговой цилиндр с образующей, параллельной оси
![$ z$](img379.png)
второе -
наклонную плоскость. Их пересечением будет эллипс, который и будет в этом случае годографом
функции
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
(рис.
11).
Рис.11. Годограф вектор-функции.
На вектор-функцию можно распространить такие понятия обычного анализа функций, как предел,
непрерывность, дифференцируемость. Так, вектор
![$ {\mathbf A}_0$](img380.png)
называется
пределом
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
при
![$ t\rightarrow t_0$](img381.png)
, если
![$ \lim_{t\to t_0}{\mathbf A}(t)={\mathbf A}_0$](img382.png)
. Функция
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
называется
непрерывной при
![$ t=t_0$](img383.png)
,если
![$\displaystyle \lim_{t\to t_0}{\mathbf A}(t)={\mathbf A}(t_0).$](img384.png) |
(51) |
Пусть для
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
существует близкое значение
![$ {\mathbf A}(t+\Delta t)$](img385.png)
. Тогда
производной вектор-функции поскалярному аргументу называется
![$\displaystyle \displaystyle{\frac{d{\mathbf A}}{dt}} = \lim_{t\to 0}\displaystyle{\frac{{\mathbf A}(t+\Delta t)-{\mathbf A}(t)}{\Delta t}}\ .$](img386.png) |
(52) |
Рис.12. К определению производной вектор-функции.
Согласно такому определению, производная вектор-функции также является вектор-функцией и поэтому
можно аналогично определить и высшие производные.
Рассмотрим геометрический смысл производной вектор-функции
![$ \displaystyle{\frac{d{\mathbf A}}{dt}}$](img388.png)
. Если взять два
значения
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
и
![$ {\mathbf A}(t+\Delta t)$](img385.png)
, то вектор
![$ \Delta{\mathbf A}={\mathbf A}(t+\Delta t)-{\mathbf A}(t)$](img389.png)
будет направлен по секущей
![$ AB$](img390.png)
годографа. Тогда, из рис.
12 видно, что при
![$ \Delta t\to 0$](img391.png)
секущая будет стягиваться к касательной и, следовательно,
производная вектор-функции
направлена по касательной к годографу вектора
![$ {\mathbf A}(t)$](img361.png)
.