Правила дифференцирования вектор-функции по скалярному аргументу

Определение производной (52) совпадает с ее обычным определением в математическом анализе. Учитывая, что алгебраические операции с векторами аналогичны алгебре чисел (Гл. 1), (кроме некоммутативности векторного произведения $\left[{\mathbf a},{\mathbf b}\right]=-\left[{\mathbf b},{\mathbf a}\right]$ ) можно утверждать (проверить это утверждение рекомендуется самостоятельно, используя правила дифференцирования скалярных функций), что правила дифференцирования вектор-функции по скалярному аргументу будут совпадать с правилами дифференцирования обычных функций. Таким образом:

1.	$\displaystyle \displaystyle{\frac{d}{dt}}\biggl( {\mathbf A} \pm {\mathbf B} \b... ...\mathbf A}}{dt}} \pm \displaystyle{\frac{d{\mathbf B}}{dt}}, \qquad\qquad\qquad$	(53)
2.	$\displaystyle \displaystyle{\frac{d}{dt}}(\varphi{\mathbf A}) = \displaystyle{\... ...}{\mathbf A} + \displaystyle{\frac{d{\mathbf A}}{dt}}\varphi,\qquad\qquad\qquad$	(54)
3.	$\displaystyle \displaystyle{\frac{d}{dt}}\left({\mathbf A},{\mathbf B}\right) =... ...bf A}},{ {\displaystyle{\frac{d{\mathbf B}}{dt}}} }\right) , \qquad\qquad\qquad$	(55)
4.	$\displaystyle \displaystyle{\frac{d}{dt}}\left[{\mathbf A},{\mathbf B}\right] =... ...mathbf A}},{\displaystyle{\frac{d{\mathbf B}}{dt}}}\right] , \qquad\qquad\qquad$	(56)
5.	$\displaystyle \displaystyle{\frac{d}{dt}}{\mathbf A}(\varphi(t)) = \displaystyl... ...{d{\mathbf A}}{d\varphi}}\displaystyle{\frac{d\varphi}{dt}}. \qquad\qquad\qquad$	(57)

Последнее равенство (57) является обобщением правила дифференцирования сложной функции. Если вектор-функция задана в координатном виде (46), то в декартовой системе