3. Дифференциальные характеристики полей
3.2. Градиент скалярного поля. Производная по направлению
Пусть в некоторой области 3-х мерного пространства задано скалярное поле
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
.
Выберем в этой области точку
![$ M$](img149.png)
. Если перемещаться из этой точки вдоль какой-либо линии,
то поле будет меняться от точки к точке. Причем, ясно, что для различных направлений скорость
изменения
![$ \varphi$](img357.png)
также может оказаться различной и должна характеризовать само поле в
рассматриваемой точке или ее окрестности. При этом, по смыслу рассуждений, эта величина
должна быть векторной. Рассмотрим строгое определение этой характеристики на примере
гидромеханической аналогии. Пусть в пространстве задано скалярное поле давления жидкости
или газа. Поместим в эту область тело произвольной формы, ограниченное поверхностью
![$ \Sigma$](img159.png)
,
(рис.
24). Вычислим суммарую силу
![$ {\mathbf F}$](img515.png)
, действующую на тело со стороны среды.
Рис.24 К определению градиента скалярной функции
Рассмотрим площадку
![$ dS$](img517.png)
, содержащую точку
![$ M$](img149.png)
на поверхности
![$ \Sigma$](img159.png)
. Модуль силы, действующей
на площадку
![$ dS$](img517.png)
, равен
![$ dF = p dS$](img518.png)
, а направление совпадает с направлением нормали к поверхности
в точке
![$ M$](img149.png)
. Таким образом, вектор силы
![$\displaystyle d{\mathbf F} = p{\mathbf n}dS.$](img519.png) |
(71) |
Полная сила может быть вычислена интегрированием по поверхности
![$ \Sigma$](img159.png)
:
![$\displaystyle {\mathbf F} = \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} p{\mathbf n}dS.$](img520.png) |
(72) |
Если результат (
72) разделить на объем
![$ V$](img505.png)
, заключенный внутри поверхности
![$ \Sigma$](img159.png)
,
то получившаяся величина
![$\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{V}}\displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} p{\mathbf n}dS$](img521.png) |
(73) |
будет "средней" силой, действующей со стороны среды на любую точку внутри
![$ \Sigma$](img159.png)
. Физической
причиной этого действия является перепад давлений между различными точками среды.
Способность поля (в данном случае поля давлений) оказывать действие на пробное тело является
характеристикой самого поля и поэтому не должна зависеть на формы и размеров тела, помещенного
в это поле. Будем стягивать поверхность
![$ \Sigma$](img159.png)
к точке
![$ M$](img149.png)
, устремляя, таким образом,
![$ V\rightarrow 0$](img522.png)
и рассмотрим предел
![$\displaystyle {\mathbf f} = \lim_{V\to 0} \displaystyle{\frac{1}{V}}\displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} p{\mathbf n}dS.$](img523.png) |
(74) |
Если предел (
74) существует, то по смыслу рассуждений он определит плотность
силы, действующей со стороны поля (давлений) на точечное тело, помещенное в точку
![$ M$](img149.png)
и
будет характеризовать быстроту изменения поля (перепад давлений) в окрестности этой точки.
Рассмотрим общий случай скалярного поля
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
. Если для поля
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
существует предел (
74) при стягивании поверхности к точке
![$ M$](img149.png)
, то он называется
градиентом поля
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
в этой точке:
![$\displaystyle \rm {grad}\varphi = \lim_{V\to 0} \displaystyle{\frac{1}{V}}\displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} \varphi{\mathbf n}dS\ .$](img524.png) |
(75) |
По определению
![$ \rm {grad}\varphi$](img525.png)
является вектором и вообще, выражение (
75),
будучи примененным в каждой точке области определения поля
![$ \varphi$](img357.png)
, будет задавать
векторное поле градиента
![$ \varphi$](img357.png)
.
Формула (
75) задает определение
![$ \rm {grad}\varphi$](img525.png)
в форме, независящей от
системы координат - инвариантно. Пользуясь (
75), получим формулу вычисления
градиента скалярного поля в декартовой системе координат. Тогда, так как вектор нормали
![$ {\mathbf n}={\mathbf i}\cos(\alpha)+{\mathbf j}\cos(\beta)+{\mathbf k}\cos(\gamma)$](img526.png)
:
![$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} \varphi{\mathbf n}dS = \disp...
... + {\mathbf j}\varphi\cos(\beta) + {\mathbf k}\varphi\cos(\gamma) \right] dS\ .$](img527.png) |
(76) |
Применим к каждому слагаемому (
76) формулу Остроградского-Гаусса (3.1):
![$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} \varphi{\mathbf n}dS = \disp...
... y}} + {\mathbf k}\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial z}} \right]dV.$](img528.png) |
(77) |
Применяя теорему о среднем к правой части (
77), получим
![$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} \varphi{\mathbf n}dS = \left...
... + {\mathbf k}\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial z}} \right]_M V\ ,$](img529.png) |
(78) |
переходя к пределу
![$ V\to 0$](img530.png)
и сравнивая с определением градиента (
75), получим
формулу для вычисления градиента в декартовой системе координат:
![$\displaystyle {\rm grad}\varphi = {\mathbf i}\displaystyle{\frac{\partial \varp...
...}{\partial y}} + {\mathbf k}\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}.$](img531.png) |
(79) |
Производная по направлению. Выберем в пространстве, где задано скалярное поле
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
некоторое направление с помощью единичного вектора
![$ {\mathbf l}$](img532.png)
. Считая,
что этот вектор определяет координатную ось
![$ l$](img302.png)
и пользуясь правилом дифференцирования
сложной функции, вычислим производную
![$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial l}} = \displaystyl...
...yle{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}\left({\mathbf l},{\mathbf k}\right)\ .$](img533.png) |
(80) |
Полученное выражение, учитывая, что
![$ \left({\mathbf l},{\mathbf i}\right),\left({\mathbf l},{\mathbf j}\right),\left({\mathbf l},{\mathbf k}\right)$](img534.png)
-
координаты вектора
![$ {\mathbf l}$](img532.png)
,можно переписать как скалярное произведение
![$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial l}} = \left({\mathbf {\rm grad}\varphi},{\mathbf l}\right)\ .$](img535.png) |
(81) |
Это выражение (
81) называется
производной по направлению
поля ![$ \varphi$](img357.png)
.
Формула (
79) позволяет получить следующие свойства и правила вычисления
![$ {\rm grad}\varphi$](img537.png)
:
Пример 3-8. Вычислить градиент поля
![$ \varphi({\mathbf r})=r$](img422.png)
, где
![$ r=\vert{\mathbf r}\vert$](img544.png)
- модуль
радиус-вектора,
![$ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$](img241.png)
.
Решение. Согласно выражению (
79), получим
Аналогично,
![$ \displaystyle{\frac{\partial r}{\partial y}} = \displaystyle{\frac{y}{r}}$](img547.png)
,
![$ \displaystyle{\frac{\partial r}{\partial z}} = \displaystyle{\frac{z}{r}}$](img548.png)
и тогда, складывая
вычисленные производные, получим:
![$\displaystyle {\rm grad}\ r = \displaystyle{\frac{{\mathbf i}x+{\mathbf j}y+{\mathbf k}z}{r}}$](img549.png)
или в бескоординатной форме