Градиент скалярного поля. Производная по направлению

Пусть в некоторой области 3-х мерного пространства задано скалярное поле $\varphi({\mathbf r})$ . Выберем в этой области точку

. Если перемещаться из этой точки вдоль какой-либо линии, то поле будет меняться от точки к точке. Причем, ясно, что для различных направлений скорость изменения $\varphi$ также может оказаться различной и должна характеризовать само поле в рассматриваемой точке или ее окрестности. При этом, по смыслу рассуждений, эта величина должна быть векторной. Рассмотрим строгое определение этой характеристики на примере гидромеханической аналогии. Пусть в пространстве задано скалярное поле давления жидкости или газа. Поместим в эту область тело произвольной формы, ограниченное поверхностью $\Sigma$ , (рис. 24). Вычислим суммарую силу ${\mathbf F}$ , действующую на тело со стороны среды.

Рассмотрим площадку

, содержащую точку

на поверхности $\Sigma$ . Модуль силы, действующей на площадку

, равен

, а направление совпадает с направлением нормали к поверхности в точке

. Таким образом, вектор силы

Полная сила может быть вычислена интегрированием по поверхности $\Sigma$ :

Если результат (72) разделить на объем

, заключенный внутри поверхности $\Sigma$ , то получившаяся величина

будет "средней" силой, действующей со стороны среды на любую точку внутри $\Sigma$ . Физической причиной этого действия является перепад давлений между различными точками среды.

Способность поля (в данном случае поля давлений) оказывать действие на пробное тело является характеристикой самого поля и поэтому не должна зависеть на формы и размеров тела, помещенного в это поле. Будем стягивать поверхность $\Sigma$ к точке

, устремляя, таким образом, $V\rightarrow 0$ и рассмотрим предел

Если предел (74) существует, то по смыслу рассуждений он определит плотность силы, действующей со стороны поля (давлений) на точечное тело, помещенное в точку

и будет характеризовать быстроту изменения поля (перепад давлений) в окрестности этой точки.

Рассмотрим общий случай скалярного поля $\varphi({\mathbf r})$ . Если для поля $\varphi({\mathbf r})$ существует предел (74) при стягивании поверхности к точке

, то он называется градиентом поля $\varphi({\mathbf r})$ в этой точке:

По определению $\rm {grad}\varphi$ является вектором и вообще, выражение (75), будучи примененным в каждой точке области определения поля $\varphi$ , будет задавать векторное поле градиента $\varphi$ .

Формула (75) задает определение $\rm {grad}\varphi$ в форме, независящей от системы координат - инвариантно. Пользуясь (75), получим формулу вычисления градиента скалярного поля в декартовой системе координат. Тогда, так как вектор нормали ${\mathbf n}={\mathbf i}\cos(\alpha)+{\mathbf j}\cos(\beta)+{\mathbf k}\cos(\gamma)$ :

Применим к каждому слагаемому (76) формулу Остроградского-Гаусса (3.1):

$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} \varphi{\mathbf n}dS = \disp... ... y}} + {\mathbf k}\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial z}} \right]dV.$

(77)

Применяя теорему о среднем к правой части (77), получим

$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} \varphi{\mathbf n}dS = \left... ... + {\mathbf k}\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial z}} \right]_M V\ ,$

(78)

переходя к пределу $V\to 0$ и сравнивая с определением градиента (75), получим формулу для вычисления градиента в декартовой системе координат:

$\displaystyle {\rm grad}\varphi = {\mathbf i}\displaystyle{\frac{\partial \varp... ...}{\partial y}} + {\mathbf k}\displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}.$

(79)

Производная по направлению. Выберем в пространстве, где задано скалярное поле $\varphi({\mathbf r})$ некоторое направление с помощью единичного вектора ${\mathbf l}$ . Считая, что этот вектор определяет координатную ось

и пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, вычислим производную

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial l}} = \displaystyl... ...yle{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}\left({\mathbf l},{\mathbf k}\right)\ .$

(80)

Полученное выражение, учитывая, что $\left({\mathbf l},{\mathbf i}\right),\left({\mathbf l},{\mathbf j}\right),\left({\mathbf l},{\mathbf k}\right)$ - координаты вектора ${\mathbf l}$ ,можно переписать как скалярное произведение

$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial \varphi}{\partial l}} = \left({\mathbf {\rm grad}\varphi},{\mathbf l}\right)\ .$

(81)

Это выражение (81) называется производной по направлению ${\boldsymbol l}$ поля $\varphi$ .

Из определения (81) следуют свойства градиента:

${\rm grad}\varphi$ направлен перпендикулярно к линии уровня $\varphi = C$ ;
${\rm grad}\varphi$ направлен в сторону наискорейшего возрастания функции $\varphi$ ;

Формула (79) позволяет получить следующие свойства и правила вычисления ${\rm grad}\varphi$ :

1. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle {\rm grad}(C_1\varphi_1 \pm C_1\varphi_2) = C_1{\rm grad}\varphi_1 \pm C_2{\rm grad}\varphi_2$	(82)
2. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle {\rm grad}(\varphi\psi) = \varphi{\rm grad}\psi + \psi{\rm grad}\varphi$	(83)
3. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle {\rm grad}\varphi(\psi) = \displaystyle{\frac{d\varphi}{d\psi}}{\rm grad}\psi$ (сложное поле) $\displaystyle .$	(84)

Пример 3-8. Вычислить градиент поля $\varphi({\mathbf r})=r$ , где $r=\vert{\mathbf r}\vert$ - модуль радиус-вектора, $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Решение. Согласно выражению (79), получим

Аналогично, $\displaystyle{\frac{\partial r}{\partial y}} = \displaystyle{\frac{y}{r}}$ , $\displaystyle{\frac{\partial r}{\partial z}} = \displaystyle{\frac{z}{r}}$ и тогда, складывая вычисленные производные, получим:

$\displaystyle {\rm grad}\ r = \displaystyle{\frac{{\mathbf i}x+{\mathbf j}y+{\mathbf k}z}{r}}$ или в бескоординатной форме $\displaystyle \quad {\rm grad}\ r = \displaystyle{\frac{{\mathbf r}}{r}}.$