3. Дифференциальные характеристики полей

Градиент скалярного поля. Производная 3.3. Поток векторного поля. Дивергенция Теорема Остроградского-Гаусса для векторных


       Понятие потока векторного поля можно определить на примере исследования скоростей течения жидкости $ {\mathbf v}({\mathbf r})$. Выберем в области поля $ {\mathbf v}({\mathbf r})$ некоторую поверхность произвольной формы (рис.26).
Рис. 26 К определению потока векторного поля.
Так как поле задано во всех точках пространства, окружающего эту поверхность, то вектор $ {\mathbf v}({\mathbf r})$ можно построить в любой точке $ M$ на поверхности. Рассмотрим площадку $ dS$ поверхности и вычислим количество жидкости, протекающей через эту площадку за единицу времени. Эта величина будет равна плотности жидкости $ \rho$, умноженной на объем наклонного цилиндра с основанием $ dS$ и образующей, по модулю равной $ \vert{\mathbf v}\vert$ в точке $ M$. Высота цилиндра равна проекции образующей на нормаль $ {\mathbf n}$ в этой точке: $ h=\vert{\mathbf v}\vert\cos(\hat{{\mathbf v},{\mathbf n}})=\left({\mathbf v},{\mathbf n}\right)$. Тогда,
$\displaystyle \left( \displaystyle{\frac{dm}{dt}} \right)_{dS} = \rho \left({\mathbf v},{\mathbf n}\right)dS = \rho({\mathbf v},d{\mathbf S}),$ (85)
где $ d{\mathbf S}={\mathbf n}dS$ - ориентированный элемент поверхности. Полное количество жидкости, протекающей через всю поверхность $ \Sigma$, будет определяться интегралом
$\displaystyle \left( \displaystyle{\frac{dm}{dt}} \right)_{\Sigma} = \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}}\rho\left({\mathbf v},{\mathbf n}\right)dS$ (86)
и называется потоком жидкости через поверхность $ \Sigma$.

       Рассмотрим общее определение потока векторного поля. Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле $ {\mathbf A}({\mathbf r})$ и поверхность $ \Sigma$. Тогда: потоком поля $ {\mathbf A}({\mathbf r})$ через поверхность $ \Sigma$ называется величина
$\displaystyle \Phi = \displaystyle{\int\limits_{\Sigma}} ({\mathbf A},d{\mathbf S}).$ (87)
Особый интерес для исследования векторных полей представляет поток через замкнутую поверхность:
$\displaystyle \Phi = \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mathbf A},d{\mathbf S}).$ (88)

Рассмотрим более подробно эту величину также на гидромеханическом примере. Поместим в поток жидкости замкнутую поверхность
a
Рис.26 К определению потока векторного поля.
$ \Sigma$ (рис. 26). Тогда, по смыслу выражения (86), если жидкость однородна, то количество жидкости, "втекающей" внутрь $ \Sigma$, будет очевидно равно количеству вытекающей и в этом случае $ \Phi = 0$. Ситуация изменится, если внутрь $ \Sigma$ поместить кусочек тающего льда. Тогда, за счет "производства" жидкости внутри $ \Sigma$ вытекать будет больше, чем "втекать" и, следовательно, в этом случае $ \Phi > 0$. Аналогично, если внутри $ \Sigma$ жидкость будет каким-либо образом поглощаться, то $ \Phi < 0$. В первом случае ($ \Phi > 0$) говорят, что внутри $ \Sigma$ есть источник, во втором ($ \Phi < 0$) - сток; $ \Phi = 0$ - источников или стоков поля нет. Эти определения можно распространить для произвольного поля $ {\mathbf A}({\mathbf r})$
Таким образом, величину потока векторного поля через замкнутую поверхность можно рассматривать как характеристику самого поля. Тогда, векторное поле можно исследовать, помещая пробную замкнутую поверхность в различные области поля и определяя поток $ \Phi$. Если разделить величину потока $ \Phi$ на объем $ V$, захваченный поверхностью $ \Sigma$, то можно получить в области поля среднюю плотность потока или среднюю мощность источника поля (если он есть внутри). Однако из-за конечных размеров пробной поверхности результаты таких исследований могут оказаться неоднозначными, например, если внутри окажутся два одинаковых по мощности источник и сток. Выбор поверхности также выглядит неоднозначно. Чтобы избавиться от такой зависимости и неоднозначности, будем, как и при рассмотрении градиента скалярного поля, стягивать поверхность к некоторой точке $ M$. Тогда, в пределе $ V\rightarrow 0$, $ \Sigma\rightarrow 0$, если он существует, будет получена величина мощности источника поля в точке $ M$. Эта величина называется дивергенцией векторного поля и обозначается как $ {\rm div}\,{\mathbf A}$ (от divergentia - расходимость). Согласно такому определению, дивергенция векторного поля $ {\mathbf A}({\mathbf r})$ вычисляется как
$\displaystyle {\rm div}\,{\mathbf A} = \lim_{V\to 0}\displaystyle{\frac{1}{V}} \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mathbf A},d{\mathbf S})\ .$ (89)
Выражение (89) определяет характеристику поля $ {\rm div}\,{\mathbf A}$ инвариантным способом. Выберем в области задания поля $ {\mathbf A}({\mathbf r})$ декартову систему координат. Тогда $ {\mathbf A} = {\mathbf i}A_x(x,y,z)+{\mathbf j}A_y(x,y,z)+{\mathbf k}A_z(x,y,z)$. Вычислим поток поля $ {\mathbf A}$ через замкнутую поверхность $ \Sigma$:
$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mathbf A},{\mathbf n})dS ... ...imits_{\Sigma}} \left[ A_x\cos\alpha + A_y\cos\beta + A_z\cos\gamma \right] dS.$ (90)
Применяя теорему о среднем к правой части (90)
\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mat... ...ystyle{\frac{\partial A_z}{\partial z}} \right]_M V \end{array}\end{displaymath} (91)
и переходя к пределу $ V\to 0$ из (91), получим
$\displaystyle {\rm div}\,{{\mathbf A}} = \displaystyle{\frac{\partial A_x}{\par... ...ac{\partial A_y}{\partial y}}+\displaystyle{\frac{\partial A_z}{\partial z}}\ .$ (92)
Выражение (92) является формулой для вычисления дивергенции поля $ {\mathbf A}$ в декартовой системе координат. Из определения (89) и (92) следует, что дивергенция векторного поля, $ {\rm div}\,{{\mathbf A}}$, является скалярной величиной, точнее скалярным полем.

       Перечислим свойства дивергенции:

1.$\displaystyle \quad$ $\displaystyle {\rm div}\,{(C_1{\mathbf A}_1 \pm C_2{\mathbf A}_2)} = C_1{\rm div}\,{{\mathbf A}}_1 \pm C_2{\rm div}\,{{\mathbf A}}_2$ (93)
1.$\displaystyle \quad$ $\displaystyle {\rm div}\,{{\mathbf A}(\varphi)} = \left(\displaystyle{\frac{\partial {\mathbf A}}{\partial \varphi}},\rm {grad}\varphi\right)\quad ($сложное поле$\displaystyle )$ (94)

       Пример 3-9. Дано векторное поле $ {\mathbf A}={\mathbf r}$. Вычислить $ {\rm div}\,{{\mathbf A}}$
       Решение. Используем формулу (92), тогда $ {\mathbf r} = {\mathbf i}x + {\mathbf j}y + {\mathbf k}z$ и $ A_x=x$, $ A_y=y$, $ A_z=z$
$\displaystyle {\rm div}\,{{\mathbf A}} = \displaystyle{\frac{\partial x}{\parti... ...ial y}{\partial y}} + \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial z}} = 1+1+1 = 3,$   т. е.$\displaystyle \quad {\rm div}\,{{\mathbf r}} = 3. $


       Пример 3-10. Вычислить дивергенцию напряженности электрического поля точечного заряда $ Q$.
       Решение.Напряженность поля точечного заряда $ {\mathbf E}({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{Q{\mathbf r}}{r^3}}$, где $ {\mathbf r}$ - радиус-вектор с началом в точке расположения заряда $ Q$.
$\displaystyle {\mathbf E}({\mathbf r})={\mathbf i}\displaystyle{\frac{Qx}{(x^2+... ...^2+z^2)^{3/2}}} + {\mathbf i}\displaystyle{\frac{Qz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}}\ . $
Так как
$\displaystyle \displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}\displaystyle{\frac{Qx... ...}} - \displaystyle{\frac{3Qx^2}{r^5}} = Q\displaystyle{\frac{r^2-3x^2}{r^5}}, $
то
$\displaystyle {\rm div}\,{E({\mathbf r})} = Q\displaystyle{\frac{3r^2 - 3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}} = 0. $
Таким образом, если $ {\mathbf r}\ne 0$, то $ {\rm div}\,{{\mathbf E}}=0$. В точке $ {\mathbf r}=0$ дивергенция неопределена ($ \ne 0$ !). Несмотря на такую особенность можно вычислить поток поля $ {\mathbf E}({\mathbf r})$ через поверхность, окружащую заряд $ Q$. Выберем в качестве такой поверхности $ \Sigma$ сферу радиуса $ \rho$ с центром в начале координат, где расположен и сам заряд. На поверхности сферы модуль напряженности поля $ \vert{\mathbf E}\vert$будет постоянным, а направление векторов поля (по радиусу) совпадает с направлением нормали $ {\mathbf n}$ к этой поверхности. Поэтому
$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mathbf E},d{\mathbf S}) =... ...int\limits_{\Sigma}} dS = \displaystyle{\frac{Q}{\rho^2}} 4\pi\rho^2 = 4\pi Q $
Полученный результат, в соответствии с условием задачи можно интерпретировать следующим образом: в пространстве, окружающем заряд, источников электрического поля нет, так как $ {\rm div}\,{E}=0$, но в начале координат источник есть, так как $ {\rm div}\,{{\mathbf E}}\ne0$ и поток поля через замкнутую поверхность также отличен от нуля. На этом основании естественно будет считать, что заряд и есть источник электрического поля. (Результат $ \Phi = 4\pi Q$в электростатике носит название теоремы Гаусса).
Скалярные и векторные поля Векторный анализ в криволинейных координатах
Градиент скалярного поля. Производная   Содержание   Теорема Остроградского-Гаусса для векторных