3. Дифференциальные характеристики полей
3.3. Поток векторного поля. Дивергенция
Понятие потока векторного поля можно определить на примере исследования скоростей течения
жидкости
![$ {\mathbf v}({\mathbf r})$](img551.png)
. Выберем в области поля
![$ {\mathbf v}({\mathbf r})$](img551.png)
некоторую поверхность
произвольной формы (
рис.26).
Рис. 26 К определению потока векторного поля.
Так как поле задано во всех точках пространства,
окружающего эту поверхность, то вектор
![$ {\mathbf v}({\mathbf r})$](img551.png)
можно построить в любой точке
![$ M$](img149.png)
на поверхности. Рассмотрим площадку
![$ dS$](img517.png)
поверхности и вычислим количество жидкости,
протекающей через эту площадку за единицу времени. Эта величина будет равна плотности
жидкости
![$ \rho$](img553.png)
, умноженной на объем наклонного цилиндра с основанием
![$ dS$](img517.png)
и образующей,
по модулю равной
![$ \vert{\mathbf v}\vert$](img554.png)
в точке
![$ M$](img149.png)
. Высота цилиндра равна проекции образующей на нормаль
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
в этой точке:
![$ h=\vert{\mathbf v}\vert\cos(\hat{{\mathbf v},{\mathbf n}})=\left({\mathbf v},{\mathbf n}\right)$](img555.png)
. Тогда,
![$\displaystyle \left( \displaystyle{\frac{dm}{dt}} \right)_{dS} = \rho \left({\mathbf v},{\mathbf n}\right)dS = \rho({\mathbf v},d{\mathbf S}),$](img556.png) |
(85) |
где
![$ d{\mathbf S}={\mathbf n}dS$](img557.png)
- ориентированный элемент поверхности. Полное количество жидкости,
протекающей через всю поверхность
![$ \Sigma$](img159.png)
, будет определяться интегралом
![$\displaystyle \left( \displaystyle{\frac{dm}{dt}} \right)_{\Sigma} = \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}}\rho\left({\mathbf v},{\mathbf n}\right)dS$](img558.png) |
(86) |
и называется
потоком жидкости через поверхность ![$ \Sigma$](img159.png)
.
Рассмотрим общее определение потока векторного поля. Пусть в некоторой области пространства задано
векторное поле
![$ {\mathbf A}({\mathbf r})$](img439.png)
и поверхность
![$ \Sigma$](img159.png)
. Тогда:
потоком поля
через поверхность
называется величина
![$\displaystyle \Phi = \displaystyle{\int\limits_{\Sigma}} ({\mathbf A},d{\mathbf S}).$](img559.png) |
(87) |
Особый интерес для исследования векторных полей представляет поток через замкнутую поверхность:
![$\displaystyle \Phi = \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mathbf A},d{\mathbf S}).$](img560.png) |
(88) |
Рассмотрим более подробно эту величину также на гидромеханическом примере. Поместим в поток
жидкости замкнутую поверхность
a
![](2_16.png)
Рис.26 К определению потока векторного поля.
![$ \Sigma$](img159.png)
(рис.
26). Тогда, по смыслу выражения (
86),
если жидкость однородна, то количество жидкости, "втекающей" внутрь
![$ \Sigma$](img159.png)
, будет очевидно
равно количеству вытекающей и в этом случае
![$ \Phi = 0$](img562.png)
. Ситуация изменится, если внутрь
![$ \Sigma$](img159.png)
поместить кусочек тающего льда. Тогда, за счет "производства" жидкости внутри
![$ \Sigma$](img159.png)
вытекать
будет больше, чем "втекать" и, следовательно, в этом случае
![$ \Phi > 0$](img563.png)
. Аналогично, если внутри
![$ \Sigma$](img159.png)
жидкость будет каким-либо образом поглощаться, то
![$ \Phi < 0$](img564.png)
. В первом случае
(
![$ \Phi > 0$](img563.png)
) говорят, что внутри
есть источник, во втором (
![$ \Phi < 0$](img564.png)
) -
сток;
![$ \Phi = 0$](img562.png)
-
источников или стоков поля нет. Эти определения можно распространить для
произвольного поля
![$ {\mathbf A}({\mathbf r})$](img439.png)
Таким образом, величину потока векторного поля через замкнутую поверхность можно рассматривать
как характеристику самого поля. Тогда, векторное поле можно исследовать, помещая пробную
замкнутую поверхность в различные области поля и определяя поток
![$ \Phi$](img565.png)
. Если разделить
величину потока
![$ \Phi$](img565.png)
на объем
![$ V$](img505.png)
, захваченный поверхностью
![$ \Sigma$](img159.png)
, то можно получить в
области поля среднюю
плотность потока или среднюю
мощность источника поля (если
он есть внутри). Однако из-за конечных размеров пробной поверхности результаты таких
исследований могут оказаться неоднозначными, например, если внутри окажутся два одинаковых по мощности
источник и сток. Выбор поверхности также выглядит неоднозначно. Чтобы избавиться от такой
зависимости и неоднозначности, будем, как и при рассмотрении градиента скалярного поля,
стягивать поверхность к некоторой точке
![$ M$](img149.png)
. Тогда, в пределе
![$ V\rightarrow 0$](img522.png)
,
![$ \Sigma\rightarrow 0$](img566.png)
, если он существует, будет получена величина мощности источника поля
в точке
![$ M$](img149.png)
. Эта величина называется
дивергенцией векторного поля и обозначается как
![$ {\rm div}\,{\mathbf A}$](img567.png)
(от
divergentia - расходимость). Согласно такому определению, дивергенция
векторного поля
![$ {\mathbf A}({\mathbf r})$](img439.png)
вычисляется как
![$\displaystyle {\rm div}\,{\mathbf A} = \lim_{V\to 0}\displaystyle{\frac{1}{V}} \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mathbf A},d{\mathbf S})\ .$](img569.png) |
(89) |
Выражение (
89) определяет характеристику поля
![$ {\rm div}\,{\mathbf A}$](img567.png)
инвариантным способом.
Выберем в области задания поля
![$ {\mathbf A}({\mathbf r})$](img439.png)
декартову систему координат. Тогда
![$ {\mathbf A} = {\mathbf i}A_x(x,y,z)+{\mathbf j}A_y(x,y,z)+{\mathbf k}A_z(x,y,z)$](img570.png)
. Вычислим поток поля
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
через замкнутую поверхность
![$ \Sigma$](img159.png)
:
![$\displaystyle \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mathbf A},{\mathbf n})dS ...
...imits_{\Sigma}} \left[ A_x\cos\alpha + A_y\cos\beta + A_z\cos\gamma \right] dS.$](img571.png) |
(90) |
Применяя теорему о среднем к правой части (
90)
![\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \displaystyle{\oint\limits_{\Sigma}} ({\mat...
...ystyle{\frac{\partial A_z}{\partial z}} \right]_M V \end{array}\end{displaymath}](img572.png) |
(91) |
и переходя к пределу
![$ V\to 0$](img530.png)
из (
91), получим
![$\displaystyle {\rm div}\,{{\mathbf A}} = \displaystyle{\frac{\partial A_x}{\par...
...ac{\partial A_y}{\partial y}}+\displaystyle{\frac{\partial A_z}{\partial z}}\ .$](img573.png) |
(92) |
Выражение (
92) является формулой для вычисления дивергенции поля
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
в декартовой системе координат. Из определения (
89) и (
92) следует, что
дивергенция
векторного поля,
, является скалярной величиной, точнее скалярным полем.
Перечислим свойства дивергенции:
1.![$\displaystyle \quad$](img539.png) |
![$\displaystyle {\rm div}\,{(C_1{\mathbf A}_1 \pm C_2{\mathbf A}_2)} = C_1{\rm div}\,{{\mathbf A}}_1 \pm C_2{\rm div}\,{{\mathbf A}}_2$](img575.png) |
(93) |
1.![$\displaystyle \quad$](img539.png) |
сложное поле![$\displaystyle )$](img577.png) |
(94) |
Пример 3-9. Дано векторное поле
![$ {\mathbf A}={\mathbf r}$](img578.png)
. Вычислить
![$ {\rm div}\,{{\mathbf A}}$](img574.png)
Решение. Используем формулу (92), тогда
![$ {\mathbf r} = {\mathbf i}x + {\mathbf j}y + {\mathbf k}z$](img411.png)
и
![$ A_x=x$](img580.png)
,
![$ A_y=y$](img581.png)
,
т. е.![$\displaystyle \quad
{\rm div}\,{{\mathbf r}} = 3.
$](img584.png)
Пример 3-10. Вычислить дивергенцию напряженности электрического поля точечного заряда
![$ Q$](img585.png)
.
Решение.Напряженность поля точечного заряда
![$ {\mathbf E}({\mathbf r})=\displaystyle{\frac{Q{\mathbf r}}{r^3}}$](img586.png)
, где
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
- радиус-вектор с началом в точке расположения заряда
![$ Q$](img585.png)
.
Так как
то
Таким образом, если
![$ {\mathbf r}\ne 0$](img590.png)
, то
![$ {\rm div}\,{{\mathbf E}}=0$](img591.png)
. В точке
![$ {\mathbf r}=0$](img431.png)
дивергенция
неопределена (
![$ \ne 0$](img592.png)
!). Несмотря на такую особенность можно вычислить поток
поля
![$ {\mathbf E}({\mathbf r})$](img466.png)
через поверхность, окружащую заряд
![$ Q$](img585.png)
. Выберем в качестве такой
поверхности
![$ \Sigma$](img159.png)
сферу радиуса
![$ \rho$](img553.png)
с центром в начале координат, где расположен и
сам заряд. На поверхности сферы модуль напряженности поля
![$ \vert{\mathbf E}\vert$](img594.png)
будет постоянным, а направление векторов поля (по радиусу) совпадает с направлением нормали
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
к этой поверхности. Поэтому
Полученный результат, в соответствии с условием задачи можно интерпретировать следующим
образом: в пространстве, окружающем заряд, источников электрического поля нет, так как
![$ {\rm div}\,{E}=0$](img596.png)
, но в начале координат источник есть, так как
![$ {\rm div}\,{{\mathbf E}}\ne0$](img597.png)
и поток
поля через замкнутую поверхность также отличен от нуля. На этом основании естественно
будет считать, что заряд и есть источник электрического поля. (Результат
![$ \Phi = 4\pi Q$](img598.png)
в электростатике носит название теоремы Гаусса).