3. Дифференциальные характеристики полей
3.5. Циркуляция векторного поля. Ротор
Пусть в некоторой области пространства задано силовое векторное поле
![$ {\mathbf F}$](img515.png)
. Выберем в
этом поле площадку и точку
![$ M$](img149.png)
на ее поверхности. Пусть эта площадка ограничена контуром
![$ L$](img512.png)
. Построим в точке
![$ M$](img149.png)
нормаль
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
к плошадке по правилу "правого винта".
Так как силовое поле задано во всем пространстве, то оно также
Рис.28 К определению ротора векторного поля.
задано и в каждой точке на контуре
![$ L$](img512.png)
. Вычислим работу, которая совершается при обходе контура
![$ L$](img512.png)
. Работа на участке
![$ dl$](img601.png)
контура
![$ dA=\left({{\mathbf F}},{d{\mathbf l}}\right)$](img602.png)
, где вектор
![$ d{\mathbf l}$](img603.png)
по величине равен
![$ dl$](img601.png)
и направлен по касательной в контуру
![$ L$](img512.png)
. Полная работа при обходе контура
![$ L$](img512.png)
(рис.
28):
Аналогичная величина, определенная для произвольного векторного поля
![$ {\mathbf A}({\mathbf r})$](img439.png)
называется
циркуляцией векторного поля
по контуру ![$ L$](img512.png)
:
В рассмотренном примере работа (
96) есть циркуляция силового поля.
Рассмотрим свойства циркуляции (
97). Разделим замкрутый контур
![$ ABCD$](img607.png)
(рис.
29) на две части отрезком
![$ AC$](img608.png)
. Тогда, цикруляция
![$ \Gamma$](img609.png)
по всему контуру
![$ ABCD$](img607.png)
будет равна сумме циркуляций по контурам
![$ ABCA$](img610.png)
и
![$ ACDA$](img611.png)
, так как по отрезку
![$ AC$](img608.png)
проход осуществляется дважды в противоположных направлениях. Пусть контур
![$ ABCD$](img607.png)
охватывает
площадь
![$ S$](img612.png)
, а контуры
![$ ACDA$](img611.png)
и
![$ ABCA$](img610.png)
соответственно
![$ S_1$](img613.png)
и
![$ S_2$](img614.png)
. Тогда, можно записать:
Рис.29 К вычислению циркуляции векторного поля.
Из (
98) следует, что
![$ \Gamma$](img609.png)
можно представить в виде интеграла по поверхности,
опирающейся на контур
![$ L$](img512.png)
:
и, используя теорему о среднем, (
99) далее можно записать как:
Будем изменять ориентацию вектора
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
(рис.
28), сохраняя его начало в точке
![$ M$](img149.png)
.
Так как контур
![$ L$](img512.png)
будет изменять свою ориентацию в поле, то величина циркуляции также будет
изменяться и ее можно рассматривать как функцию
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
:
![$ \Gamma = \Gamma({\mathbf n})$](img618.png)
. При этом
![$ \Gamma(-{\mathbf n})=-\Gamma({\mathbf n})$](img619.png)
, так как направление обхода в этом случае будут противоположным.
Так как поле
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
считается непрерывным, то
![$ \Gamma({\mathbf n})$](img620.png)
будет непрерывной функцией
![$ {\mathbf n}$](img323.png)
. Из анализа известно, что если непрерывная функция на ограниченном участке меняет
свой знак, то она проходит через 0. Поэтому существует такой вектор
![$ {\mathbf n}_0$](img621.png)
, что
![$ \Gamma({\mathbf n}_0)=0$](img622.png)
. Частный случай такой ситуации возникает на примере с силовым полем, когда
векторы поля будут перпендикулярны к площадке, охватываемой контуром
![$ L$](img512.png)
. Функцию
![$ \Gamma({\mathbf n})$](img620.png)
, удовлетворяющую перечисленным свойствам, можно построить, если выбрать
![$ f(M)$](img623.png)
в виде
при этом вектор
![$ {\mathbf R}$](img329.png)
должен быть связан с самим полем
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
в точке
![$ M$](img149.png)
. Таким образом,
можно записать
Из (
102) в применении к силовому полю
![$ {\mathbf F}$](img515.png)
следует, что если в окрестности точки
![$ M$](img149.png)
вектор
![$ {\mathbf R}$](img329.png)
отличен от нуля, то поле будет совершать работу при перемещении материальной
точки по замкнутому контуру и наоборот.
Будем стягивать контур
![$ L$](img512.png)
к точке
![$ M$](img149.png)
. Тогда, в предельном случае формулы (
102)
вектор
![$ {\mathbf R}$](img329.png)
называется
ротором векторного поля
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
:
Формула (
103) инвариантным образом определяет новую характеристику векторного
поля -
ротор, который
векторным полем.