Наиболее просто основные операции векторного дифференцирования выглядят в декартовой системе
координат. Будем считать, что
![$ {\mathbf i}\equiv{\mathbf e}_1$](img680.png)
,
![$ {\mathbf j}\equiv{\mathbf e}_2$](img199.png)
,
![$ {\mathbf k}\equiv{\mathbf e}_3$](img198.png)
. Тогда, как известно, операции векторной алгебры могут быть записаны
в виде:
![$ ({\mathbf a},{\mathbf b})=a_ib_i$](img681.png)
,
![$ [{\mathbf a},{\mathbf b}]=\varepsilon_{ijk}{\mathbf e}_ia_jb_k$](img682.png)
и
![$ ({\mathbf a},[{\mathbf b},{\mathbf c}])=\varepsilon_{ijk}a_ib_jc_k$](img683.png)
, где
![$ a_i$](img684.png)
,
![$ b_i$](img685.png)
,
![$ c_i$](img686.png)
- координаты
векторов
![$ {\mathbf a}$](img10.png)
,
![$ {\mathbf b}$](img11.png)
,
![$ {\mathbf c}$](img76.png)
,
![$ \varepsilon_{ijk}$](img187.png)
-
![$ \varepsilon $](img2.png)
-символ (псевдотензор
Леви-Чивиты), а по дважды повторяющимся индексам выполняется суммирование. С использованием
таких обозначений:
Использование (
128)-(
133) вместе в правилами обращения с
![$ \delta $](img1.png)
-символом
![$ \delta_{ij}$](img165.png)
и
![$ \varepsilon $](img2.png)
-символом
![$ \varepsilon_{ijk}$](img187.png)
также представляет удобный способ
векторного дифференцирования. Для примера, докажем формулу (
123):
В последнем выражении, после дифференцирования, можно обратно вернуться к бескоординатной форме
записи.