Оператор Гамильтона (). Векторное дифференцирование

Вычисление таких характеристик полей, как градиент, дивергенция и ротор заключается, как уже было показано ранее, в вычислении соответствующих производных, их переменожении или суммировании и, таким образом, представляет собой некоторое действие (операцию) над полем. Общим свойством этой операции является ее векторный характер. Это свойство можно учесть и в самой форме записи способа вычисления, если определить символический вектор - оператор $\nabla$ (набла):

$\displaystyle \nabla = \lim_{V\to 0} \displaystyle{\frac{1}{V}} \oint {\mathbf n}(\dots)dS,$

(113)

который удовлетворяет всем правилам векторной алгебры, т. е. его можно умножать на число (скаляр) или вектор. Знак $(\dots)$ означает, что при этом соответствующая величина должна быть подставлена сюда вместе с символом векторной операции. Тогда, сравнивая (113) с (75), (89) и (112), получим:

1) умножение вектора $\nabla$ на скаляр $\longrightarrow$ вектор:

$\displaystyle \nabla\varphi = {\rm grad}\,\varphi;$

(114)

2) скалярное умножение $\nabla$ на вектор ${\mathbf A}$ $\longrightarrow$ скаляр:

$\displaystyle \left({\nabla},{{\mathbf A}}\right) = {\rm div}\,{{\mathbf A}};$

(115)

3) векторное умножение $\nabla$ на вектор ${\mathbf A}$ $\longrightarrow$ вектор:

$\displaystyle \left[{\nabla},{{\mathbf A}}\right] = {\rm rot}\,{{\mathbf A}}.$

(116)

Сравнивая далее (114)-(116) с (79), (92) и (106), получим, что в декартовой системе координат оператор $\nabla$ запишется как

$\displaystyle \nabla = {\mathbf i}\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}} +... ...tial }{\partial y}} + {\mathbf k}\displaystyle{\frac{\partial }{\partial z}}\ .$

(117)

Определение (113) удобно тем, что оно пригодно для любой системы координат, в то время как (117) - частный случай для декартовой.

Оператор $\nabla$ является дифференциальным оператором а его действие, независимо от алгебраической операции, в комбинации с которой он применяется к полю в (114)-(116), подчиняется обычным правилам дифференцирования функций (сумма, произведение). В применении к сложным выражениям, содержащим комбинации скалярных или векторных полей, вычисления градиента, дивергенции или ротора на основе их определений может оказаться весьма громоздким, а при использовании символической записи становится более наглядным и простым. При этом необходимо, однако, следить, чтобы характер величин (скаляр или вектор) сохранялся на протяжении всех вычислений, а каждое промежуточное выражение имело смысл с точки зрения векторной алгебры. Например, если ${\mathbf A}$ , ${\mathbf B}$ - векторы, то выражение ${\mathbf {AB}}$ не имеет смысла, если не указана сответствующая бинарная операции: сумма, скалярное или векторное произведение - ${\mathbf A}+{\mathbf B}$ , $({\mathbf A},{\mathbf B})$ , $[{\mathbf A},{\mathbf B}]$ .

С учетом этих замечаний, можно получить следующие полезные тождества:

1. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \nabla(\phi\psi) = \phi\nabla\psi + \psi\nabla\phi$	(118)
2. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \nabla\phi(\psi) = \displaystyle{\frac{\partial \phi}{\partial \psi}}\nabla\psi$	(119)
3. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle \nabla({\mathbf A},{\mathbf B}) = [{\mathbf A},{\rm rot}\,{\mathb... ...{\mathbf A},\nabla){\mathbf B} + ({\mathbf B},\nabla){\mathbf A}\phantom{aaaaa}$	(120)
4. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle {\rm div}\,\phi{\mathbf A} = \phi{\rm div}\,{\mathbf A} + (\nabla\phi,{\mathbf A})$	(121)
5. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle {\rm div}\,{\mathbf A}(\psi) = \left({\displaystyle{\frac{\partial {\mathbf A}}{\partial \psi}}},{\nabla\psi}\right)$	(122)
6. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle {\rm div}\,[{\mathbf A},{\mathbf B}] = ({\mathbf B},{\rm rot}\,{\mathbf A}) - ({\mathbf A},{\rm rot}\,{\mathbf B})$	(123)
7. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle {\rm rot}\,\phi{\mathbf A} = \phi{\rm rot}\,{\mathbf A} + [\nabla\phi,{\mathbf A}]$	(124)
8. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle {\rm rot}\,[{\mathbf A},{\mathbf B}] = {\mathbf A}{\rm div}\,{B} ... ...rm div}\,{A} -({\mathbf A},\nabla){\mathbf B} + ({\mathbf B},\nabla){\mathbf A}$	(125)
9. $\displaystyle \quad$	$\displaystyle ({\mathbf a},\nabla)\phi{\mathbf A} = {\mathbf A}({\mathbf a},\nabla\phi) + \phi({\mathbf a},\nabla){\mathbf A}.$	(126)

Докажем формулы (125) и (123). ${\rm rot}\,[{\mathbf A},{\mathbf B}]=[\nabla,[{\mathbf A},{\mathbf B}]]$ . Согласно правилу дифференцирования произведения, будем отмечать те функции, которые будут оставаться постоянными, т. е. $(f_1f_2)' = f'_1\underline{f_2}+\underline{f_1}f'_2$ . Тогда:

$\displaystyle [\nabla,[{\mathbf A},{\mathbf B}]]=[\nabla,[{\mathbf A},\underline{{\mathbf B}}\ ]] + [\nabla,[\underline{{\mathbf A}},{\mathbf B}\ ]]\ .$

Раскроем двойное векторное произведение по правилу "BAC-CAB", учитывая, что в первом слагаемом действию дифференцирования "подвергается" вектор ${\mathbf A}$ , во втором - ${\mathbf B}$ :

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} [\nabla,[{\mathbf A},\underline{{\mathbf B}... ...}) - (\underline{{\mathbf A}},\nabla){\mathbf B}\ . \end{array}\end{displaymath}$

Во втором и четвертом слагаемых сомножители переставлены местами по свойству векторного произведения, чтобы учесть предыдущие замечания. Опуская подчеркивания и переходя от символической формы записи к соответствующим обозначениям, получим (125). Аналогично для (123):

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} {\rm div}\,[{\mathbf A},{\mathbf B}] = (\na... ...\mathbf A}) - ({\mathbf A},{\rm rot}\,{\mathbf B}), \end{array}\end{displaymath}$

где были использованы свойства цикличности смешанного произведения векторов и антисимметрии векторного. Остальные формулы предлагается доказать самостоятельно.

При выполнении векторного дифференцирования полезно знать следующие результаты для простейших скалярных и векторных функций:

$\displaystyle \left. \begin{array}{lll} \mbox{1}. & \nabla r = \displaystyle{\f... ...pace{40mm}{\mathbf a}=\mbox{Const}, \\ [0.5em] \end{array} \right\}\hspace{0mm}$

(127)

Формулы (127) легко доказать с использованием определений градеинта, дивергенции и ротора в декартовой системе координат.


			Содержание