Векторные дифференциальные операции второго порядка

Действие оператора $\nabla$ на скалярное или векторное поле порождает новые поля - векторные ${\rm grad}\,\phi$ , ${\rm rot}\,{\mathbf A}$ и скалярное поле ${\rm div}\,{\mathbf A}$ . К этим полям также можно применить операции вычисления градиента, дивергенции и ротора. Всего, таким образом, можно построить пять различных комбинаций ${\rm grad}\,{\rm div}\,{\mathbf A}$ , ${\rm div}\,{\rm grad}\,\phi$ , ${\rm div}\,{\rm rot}\,{\mathbf A}$ , ${\rm rot}\,{\rm grad}\,\phi$ , ${\rm rot}\,{\rm rot}\,{\mathbf A}$ . Такие комбинации называются дифференциальными векторными операциями второго порядка. Рассмотрим более подробно наиболее важные из них.

1. ${\rm div}\,{\rm grad}\,\Phi$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} {\rm div}\,{\rm grad}\,\Phi = {\rm div}\,\le... ...tial^2 }{\partial z^2}} \right)\Phi = \Delta\Phi\ . \end{array}\end{displaymath}$

(134)

Оператор $\Delta$ называется оператором Лапласа и (134) дает его определение в декартовой системе координат. С помощью оператора $\nabla$ оператор Лапласа можно записать в бескоординатной, векторной форме:

$\displaystyle \Delta = (\nabla,\nabla).$

(135)

Оператор Лапласа, в отличие от вектора $\nabla$ является скалярным оператором и поэтому может применяться и к векторным, и к скалярным полям. Таким образом, выражение $\Delta{\mathbf A}$ имеет смысл, так как умножение вектора на скаляр допустимо правилами векторной алгебры.

2. ${\rm rot}\,{\rm grad}\,\Phi$

$\displaystyle {\rm rot}\,{\rm grad}\,\Phi = [\nabla,\nabla\Phi] = [\nabla,\nabla]\Phi \equiv 0.\quad (!)$

(136)

3. ${\rm div}\,{\rm rot}\,{\mathbf A}$ .

$\displaystyle {\rm div}\,{\rm rot}\,{\mathbf A} = (\nabla,[\nabla,{\mathbf A}]) = ([\nabla,\nabla]{\mathbf A}) \equiv 0.\quad (!)$

(137)

Тождества 2 и 3 выполяются для произвольных полей $\Phi$ и ${\mathbf A}$ и очень часто используются в практических приложениях векторного анализа.

4. ${\rm rot}\,{\rm rot}\,{\mathbf A}$ .

$\displaystyle {\rm rot}\,{\rm rot}\,{\mathbf A} = [\nabla,[\nabla,A]] = \nabla(\nabla,{\mathbf A}) - (\nabla,\nabla){\mathbf A}$

и следовательно

$\displaystyle {\rm rot}\,{\rm rot}\,{\mathbf A} = {\rm grad}\,{\rm div}\,{\mathbf A} - \Delta{\mathbf A}.$

(138)

5. ${\rm grad}\,{\rm div}\,{\mathbf A}$ - из (138) следует:

$\displaystyle {\rm grad}\,{\rm div}\,{\mathbf A} = {\rm rot}\,{\rm rot}\,{\mathbf A} + \Delta{\mathbf A}\ .$

(139)

Докажем тождество ${\rm rot}\,{\rm grad}\,\Phi=0$ (136) с помощью координатного способа

$\displaystyle {\rm rot}\,{\rm grad}\,\Phi = \varepsilon_{ijk}{\mathbf e}_i\disp... ...arepsilon_{ijk}\displaystyle{\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_j\partial x_k}}.$

Так как $\varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{ikj}$ , а $\displaystyle{\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_j\partial x_k}} = \displaystyle{\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_k\partial x_j}}$ , то согласно известному тождеству для свертки симметричного и антисимметричного тензора, получаем, что $\varepsilon_{ijk}\displaystyle{\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_j\partial x_k}}=0$ . Аналогично, для (137):

$\displaystyle {\rm div}\,{\rm rot}\,{\mathbf A} = \displaystyle{\frac{\partial ... ...epsilon_{ikl}\displaystyle{\frac{\partial^2 A_l}{\partial x_i \partial x_k}}=0$

по тому же свойству свертки, что и выше.


			Содержание