Действие оператора
![$ \nabla $](img3.png)
на скалярное или векторное поле порождает новые поля - векторные
![$ {\rm grad}\,\phi$](img695.png)
,
![$ {\rm rot}\,{\mathbf A}$](img641.png)
и скалярное поле
![$ {\rm div}\,{\mathbf A}$](img567.png)
. К этим полям также можно применить
операции вычисления градиента, дивергенции и ротора. Всего, таким образом, можно построить
пять различных комбинаций
![$ {\rm grad}\,{\rm div}\,{\mathbf A}$](img696.png)
,
![$ {\rm div}\,{\rm grad}\,\phi$](img697.png)
,
![$ {\rm div}\,{\rm rot}\,{\mathbf A}$](img698.png)
,
![$ {\rm rot}\,{\rm grad}\,\phi$](img699.png)
,
![$ {\rm rot}\,{\rm rot}\,{\mathbf A}$](img700.png)
. Такие комбинации называются
дифференциальными
векторными операциями второго порядка. Рассмотрим более подробно наиболее важные из них.
1.
Оператор
![$ \Delta$](img703.png)
называется оператором Лапласа и (
134) дает его определение в
декартовой системе координат. С помощью оператора
![$ \nabla $](img3.png)
оператор Лапласа можно записать
в бескоординатной, векторной форме:
Оператор Лапласа, в отличие от вектора
![$ \nabla $](img3.png)
является скалярным оператором и поэтому может
применяться и к векторным, и к скалярным полям. Таким образом, выражение
![$ \Delta{\mathbf A}$](img705.png)
имеет смысл, так как умножение вектора на скаляр допустимо правилами векторной алгебры.
Тождества 2 и 3 выполяются для произвольных полей
![$ \Phi$](img565.png)
и
![$ {\mathbf A}$](img206.png)
и очень часто используются
в практических приложениях векторного анализа.
.
Докажем тождество
![$ {\rm rot}\,{\rm grad}\,\Phi=0$](img712.png)
(
136) с помощью координатного способа
Так как
![$ \varepsilon_{ijk}=-\varepsilon_{ikj}$](img714.png)
, а
![$ \displaystyle{\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_j\partial x_k}} =
\displaystyle{\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_k\partial x_j}}$](img715.png)
, то согласно известному тождеству
для свертки симметричного и антисимметричного тензора, получаем, что
![$ \varepsilon_{ijk}\displaystyle{\frac{\partial^2\Phi}{\partial x_j\partial x_k}}=0$](img716.png)
. Аналогично, для
(
137):
по тому же свойству свертки, что и выше.