Примеры решения задач на векторное дифференцирование

3. Дифференциальные характеристики полей

3.10. Примеры решения задач на векторное дифференцирование

Пример 3-12. Вычислить ${\rm grad}\,({\mathbf b},[{\mathbf r},{\mathbf a}])$ , где ${\mathbf a},{\mathbf b}$ =Const.

Решение. Используем (121) c ${\mathbf A}=b$ , ${\mathbf B}=[{\mathbf r},{\mathbf a}]$ , тогда

$\displaystyle \nabla({\mathbf b},[{\mathbf r},{\mathbf a}])=[{\mathbf b},{\rm r... ...abla)[{\mathbf r},{\mathbf a}]+ ([{\mathbf r},{\mathbf a}],\nabla){\mathbf b}.$

Так как ${\mathbf b}=\rm {Const}$ , а ${\rm rot}\,[{\mathbf r},{\mathbf a}]=-2{\mathbf a}$ , (127),то

$\displaystyle \nabla({\mathbf b},[{\mathbf r},{\mathbf a}]) = 2[{\mathbf a},{\mathbf b}] + ({\mathbf b},\nabla)[{\mathbf r},{\mathbf a}].$

Так как для последнего слагаемого $({\mathbf b},\nabla)[{\mathbf r},{\mathbf a}]=-[{\mathbf a},{\mathbf b}]$ , то

$\displaystyle \nabla({\mathbf b},[{\mathbf r},{\mathbf a}]) = 2[{\mathbf a},{\mathbf b}] - [{\mathbf a},{\mathbf b}] = [{\mathbf a},{\mathbf b}].$

Также можно использовать следующие преобразования и (127) :

$\displaystyle \nabla({\mathbf b},[{\mathbf r},{\mathbf a}]) = \nabla({\mathbf r},[{\mathbf a},{\mathbf b}]) = [{\mathbf a},{\mathbf b}].$

Наконец, координатный способ. Так как ${\mathbf r}={\mathbf e}_ix_i$ , то

$\displaystyle \nabla({\mathbf b},[{\mathbf r},{\mathbf a}]) = {\mathbf e}_i\dis... ...f e}_i\varepsilon_{jkl}b_ja_l\displaystyle{\frac{\partial x_k}{\partial x_i}}.$

Так как координаты радиус-вектора

- независимые величины, то производная $\displaystyle{\frac{\partial x_k}{\partial x_i}}=\delta_{ik}$ , тогда, используя свойство снятия сумм для дельта-символа, получим

$\displaystyle \nabla({\mathbf b},[{\mathbf r},{\mathbf a}]) = {\mathbf e}_i\var... ...}_kb_ja_l = \varepsilon_{klj}{\mathbf e}_ka_lb_j = [{\mathbf a},{\mathbf b}].$

Пример 3-13. Вычислить ${\rm rot}\,\ln(ar)^3[{\mathbf r},{\mathbf b}]$ , где ${\mathbf b}=\rm {Const}$ , $r=\vert{\mathbf r}\vert\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Решение. Используем (124) c $\phi=\ln(ar)^3$ и ${\mathbf A}=[{\mathbf r},{\mathbf b}]$ . Тогда:

$\displaystyle {\rm rot}\,\ln(ar)^3[{\mathbf r},{\mathbf b}] = \ln(ar)^3{\rm rot}\,[{\mathbf r},{\mathbf b}] + [\nabla\ln(ar)^3,[{\mathbf r},{\mathbf b}]].$

Из (127) ${\rm rot}\,[{\mathbf r},{\mathbf b}]=-2{\mathbf b}$ , для $\nabla\ln(ar)^3$ используем (119)

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \nabla\ln(ar)^3=\displaystyle{\frac{\partia... ...bf r}}{r}}=3\displaystyle{\frac{{\mathbf r}}{r^2}}. \end{array}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} {\rm rot}\,\ln(ar^3)[{\mathbf r},{\mathbf b... ...hbf b},{\mathbf r})}{r^2}}{\mathbf r}-3{\mathbf b}. \end{array}\end{displaymath}$