С помощью теоремы Остроградского-Гаусса (
95) можно получить ряд полезных выражений,
которые в математической физике носят название формул Грина.
Рассмотрим две скалярные функции
![$ \varphi({\mathbf r})$](img415.png)
и
![$ \psi({\mathbf r})$](img742.png)
, непрерывные вместе со своими
первыми и вторыми частными производными.
Используя теорему Остроградского-Гаусса для векторных полей (
95), получим
первая формула Грина является трехмерным аналогом формулы интегрирования по частям в
математическом анализе.
2. Построим вектор
![$ {\mathbf A}=\varphi\nabla\psi-\psi\nabla\varphi$](img748.png)
.
![$ {\rm div}\,{\mathbf A}=\varphi\Delta\psi-\psi\Delta\varphi$](img749.png)
. Используя теорему Остроградского-Гаусса,
получим
вторую формулу Грина:
Для доказательства разобъем объем
![$ V$](img505.png)
на две области: сферическую
![$ \varepsilon $](img2.png)
-окрестность
точки
![$ M_0$](img760.png)
, ограниченную сферой
![$ S_\varepsilon$](img761.png)
и остаток
![$ V'=V-\varepsilon$](img762.png)
(рис.
31).
Пусть
![$ {\mathbf r}$](img147.png)
- вектор, проведенный из точки
![$ M_0$](img760.png)
в произвольную точку
![$ M$](img149.png)
, принадлежащую объему
![$ V'$](img763.png)
:
Прямым вычислением нетрудно проверить, что для любой точки
![$ M$](img149.png)
выполняется равенство
Пусть
![$ \psi=\displaystyle{\frac{1}{r}}$](img767.png)
, тогда из второй формулы Грина (
142) для объема
![$ V'$](img763.png)
:
что и доказывает сформулированное выше утверждение. Отметим, что формула (
148)
фактически дает решение дифференциального уравнение (Пуассона)