4. Векторный анализ в криволинейных координатах
4.2. Координатные поверхности и линии
Чтобы выяснить смысл криволинейных координат, рассмотрим одно из уравнений (
185) в виде:
![$ C_1=$](img876.png)
Const. Из аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в
пространстве поверхность. Если
![$ C_1$](img877.png)
изменяется, тогда, соответственно, будет задано семейство
поверхностей. Аналогично можно получить еще два таких семейства:
Если некоторая точка
![$ M$](img149.png)
имеет криволинейные координаты
![$ (q_1, q_2, q_3)$](img869.png)
, то из (
188) -
(
190) следует, что она расположена на пересечении поверхностей (
188) -
(
190) (рис.
34).
Рис.33.
Таким образом, положение точки в пространстве можно определить относительно семейства поверхностей
(
188)-(
190), на каждой из которых соответствующая координата имеет
постоянное значение. Поэтому, такие поверхности называются
координатными.
Попарные пересечения координатных поверхностей
![$ (q_2,q_3)$](img881.png)
,
![$ (q_1,q_3)$](img882.png)
,
![$ (q_1,q_2)$](img883.png)
определяют
пространственные кривые, вдоль которых изменяется только одна из координат,
![$ q_1$](img884.png)
,
![$ q_2$](img885.png)
или
![$ q_3$](img886.png)
. Такие линии называются
координатными линиями. Так как уравнения
(
188)-(
190) в общем случае не обязательно задают плоскости, то и координатные
линии также будут
кривыми, что и определяет название
криволинейная система координат.