Подвижный репер. Ортогональные криволинейные системы координат. Коэффициенты Ламэ

Как уже говорилось, положение точки

в пространстве можно определить относительно некоторой точки отсчета с помощью кривоинейных координат:

$\displaystyle {\mathbf r} = {\mathbf r}(q_1,q_2,q_3).$

(191)

При фиксированных

(191) определяет уравнение координатной линии

в параметрической форме. Тогда, вектор

$\displaystyle {\mathbf r}_1=\displaystyle{\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial ... ...l y}{\partial q_1}} + {\mathbf k}\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial q_1}}$

(192)

будет направлен по касательной к этой координатной линии. Аналогично можно построить еще два вектора, касательные к координатным линиям

$\displaystyle {\mathbf r}_2=\displaystyle{\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial q_2}}$ и $\displaystyle \quad {\mathbf r}_3=\displaystyle{\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial q_3}}\ .$

(193)

Из условия (186) следует, что смешанное произведение касательных векторов

$\displaystyle ({\mathbf r}_1,[{\mathbf r}_2,{\mathbf r}_3]) \ne 0,$

(194)

что, как известно из векторной алгебры, означает, что тройка векторов ${\mathbf r}_1$ , ${\mathbf r}_2$ , ${\mathbf r}_3$ линейно независимы и, следовательно, образуют базис, по которому может быть разложен (только в той точке, где этот базис построен !) произвольный вектор:

$\displaystyle {\mathbf A} = {\mathbf r}_1A_1 + {\mathbf r}_2A_2 + {\mathbf r}_3A_3\ .$

(195)

Удобнее вместо векторов ${\mathbf r}_1$ , ${\mathbf r}_2$ , ${\mathbf r}_3$ использовать единичные (нормированные)

$\displaystyle {\mathbf e}_i = \displaystyle{\frac{{\mathbf r}_i}{r_i}},\qquad i=1,2,3,$

(196)

где $r_i=\vert{\mathbf r}_i\vert$ . Тройка векторов $({\mathbf e}_1,{\mathbf e}_2,{\mathbf e}_3)$ называется репером криволинейной системы координат.

Рис.35 К определению подвижного репера

Базис декартовой системы координат, т. е. репер $({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k})$ является одним из простейших частных случаев общего определения. В общем случае ориентация векторов репера (196) может зависеть от положения точки, в которой он построен, согласно (192)-(193). Поэтому репер криволинейной системы координат называют локальным или подвижным репером. Это свойство определяет основное отличие криволинейных систем координат от декартовой, в которой репер $({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k})$ является одинаковым во всех точках пространства.

Рассмотрим в пространстве две бесконечно близкие точки ${\mathbf r}_{M_1}(q_1,q_2,q_3)$ и ${\mathbf r}_{M_2}(q_1+dq_1,q_2+dq_2,q_3+dq_3)$ . Вектор $d{\mathbf r}={\mathbf r}_{M_2}-{\mathbf r}_{M_1}$ (рис. 35) может быть представлен в виде:

$\displaystyle d{\mathbf r}=\displaystyle{\sum\limits_{i=1}^{3}}\left(\displayst... ...\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial q_i}}\right)dq_i = {\mathbf e}_i r_i dq_i.$

(197)

Определим квадрат длины вектора $d{\mathbf r}$ :

$\displaystyle (d{\mathbf r})^2 = (d{\mathbf r},d{\mathbf r}) = \displaystyle{\sum\limits_{i,j=1}^{3}}({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)\ r_i r_j\ dq_i dq_j\ .$

(198)

Таким образом, в общем случае криволинейной системы координат квадрат длины представляет собой квадратичную форму дифференциалов криволинейных координат, в отличие от теоремы Пифагора $(d{\mathbf r})^2 = (dx)^2 + (dy)^2 + (dz)^2$ в декартовой.

Пусть выполняются условия:

$\displaystyle ({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)=0$ при $\displaystyle \quad i\ne j$ и $\displaystyle \quad ({\mathbf e}_i,{\mathbf e}_j)=1,\quad i=j\ .$

(199)

Системы координат, для которых выполняются условия (199), называются криволинейными ортогональными. В дальнейшем будем ограничивать рассмотрение именно такими системами. Тогда для векторов репера:

$\displaystyle {\mathbf e}_i = \displaystyle{\frac{1}{H_i}}\displaystyle{\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial q_i}},\qquad i=1,2,3,$

(200)

где величины

, определенные как

$\displaystyle H_i = \sqrt{ \left(\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial q_i}}... ...}\right)^2 + \left(\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial q_i}}\right)^2 }\ ,$

(201)

называются коэффициентами Ламэ. Так как ${\mathbf r} = {\mathbf i}x + {\mathbf j}y + {\mathbf k}z$ , то из (200) можно найти координаты векторов репера ${\mathbf e}_i$ относительно декартовой системы:

$\displaystyle {\mathbf e}_i = {\mathbf i}\displaystyle{\frac{1}{H_i}}\displayst... ...f k}\displaystyle{\frac{1}{H_i}}\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial q_i}}.$

(202)

Тогда квадрат длины и дифференциал вектора будут, выглядеть согласно (198)-(199), как

$\displaystyle (d{\mathbf r}^2) = dl^2 = H_1^2dq_1^2 + H_2^2dq_2^2 + H_3^2dq_3^2$

(203)

$\displaystyle d{\mathbf r}={\mathbf e}_1H_1dq_1 + {\mathbf e}_2H_2dq_2 + {\mathbf e}_3H_3dq_3\ .$

(204)

Рис.36 Бесконечно малый параллелепипед

Из (204) следует, что величины

являются длинами ребер бесконечно малого параллелепипеда (рис. 36). Отсюда получим выражение для элемента объема в криволинейной системе координат:

$\displaystyle dV = H_1 H_2 H_3 dq_1 dq_2 dq_3,$

(205)

известное из математического анализа.


			Содержание